Tarea

Relaciones métricas


Un triángulo rectángulo y sus elementos.


Triángulo rectángulo se denomina al triángulo en el que uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90° (grados sexagesimales) ó π/2 radianes.

Fórmulas para calcular un lado desconocido en función de los otros dos, donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.
Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticasSe denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto.
Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.
Las relaciones métricas en el triángulo
Son las propiedades, incluyendo la ecuación del Teorema de Pitágoras que son válidas, exclusivamente, en el triángulo rectángulo y se aplican sobre las dimensiones de los catetos, hipotenusa, yla altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre ésta como proyecciones de los catetos de triángulo.
1. Cualquier triángulo se puede dividir en 2 triángulos rectángulos y son semejantes entre si y semejantes al triangulo dado

2. En un triángulo rectángulo La medida de un cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.
,también se cumple:

:
3. La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.
, es decir:
Las tres alturas del triángulo rectángulo pueden calculase como:
; ;
donde b y c son los catetos y a, la hipotenusa, en tanto que ha, hb y hc son las alturas sobre los respectivos lados.







4.Teorema del catetoLos segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.
El teorema del cateto establece lo siguiente:
Teorema del cateto
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de ese cateto sobre la hipotenusa.
Este teorema puede expresarsematemáticamente —para cada uno de sus dos catetos— como:


Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c.

Corolario
(Corolario 1) “En todo triángulo rectángulo la longitud de la proyección ortogonal de cualquier cateto sobre la hipotenusa es igual al cuadrado de la longitud de ese mismo cateto dividido por la longitud de la hipotenusa.”
Basados enlas dos ecuaciones del teorema anterior, para deducir el «corolario 1» basta con despejar en cada una de ellas, la respectiva variable de su proyección ortogonal, siendo éstas m y n:



5. El cuadrado de un cateto es igual al producto de los catetos, la hipotenusa por la proyección ortogonal de este mismo cateto sobre la hipotenusa



en las que al despejar respectivamente m y n producenlas ecuaciones del «corolario 1»:

donde m es la proyección ortogonal del cateto b sobre la hipotenusa c y n es la proyección ortogonal del cateto a también sobre la hipotenusa c.


La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de Pitágoras:

donde es la medida de la hipotenusa.






Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones delos lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.
En un triángulo rectángulo:
La medida de un cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.
, también se cumple:
La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.
, es decir:
Las tres alturasdel triángulo rectángulo pueden calculase como:
; ;
donde b y c son los catetos y a, la hipotenusa, en tanto que ha, hb y hc son las alturas sobre los respectivos lados.
La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de Pitágoras:

donde es la medida de la hipotenusa.
[editar]Teorema de la altura
En matemáticas, el teorema de "la altura de un...