Tarea

MÉTODO GRAFICO
Construcción de un modelo. Resolución por el método gráfico.
Construcción del modelo:
Los pasos a seguir son los siguientes:
1.- En primer lugar hay que identificar las variables de decisión del problema.
2.- Buscar la función objetivo. Que es la función que queremos optimizar
3.- Encontrar las restricciones.
4.- Condición de no negatividad: Esta es otrarestricción.
Por lo tanto: xi
≥ 0 ∀i
Gráficos:
Normalmente los gráficos no son el mejor método para resolver los problemas de programación
lineal del mundo real. No obstante, una solución gráfica nos sirve para entender mejor la
estructura de los modelos de programación lineal.
Lo primero que haremos será, representar el conjunto de los puntos que verifican las restricciones.
Para ellodibujamos las rectas que nos dan las restricciones y elegimos la región de los puntos que
verifican la desigualdad.
Entonces, el conjunto de los puntos que verifican todas las restricciones, (incluida la condición de
no negatividad), será la intersección de todas estas regiones.
Este conjunto es un conjunto convexo, por ser intersección de convexos, y como una función
lineal es una funciónconvexa, sabemos que el óptimo de la función se obtiene en un punto
extremo del convexo. Entonces, basta calcular el valor de la función objetivo en estos puntos para
saber en cuál de ellos se alcanza el óptimo.
Este método de obtener la solución no es práctico cuando tenemos muchos puntos extremos. Es
más sencillo dibujar la recta de utilidad y ver para qué punto(s) de la región quehemos
determinado se alcanza el óptimo.
Una vez obtenida una solución hay que interpretarla. Es decir, explicar qué es lo mejor que se
puede hacer para optimizar nuestro objetivo.
EJEMPLO:
Resolver mediante el método gráfico el siguiente problema:
Maximizar | Z = f(x,y) = 3x + 2y |
sujeto a: | 2x + y ≤ 18 |
  | 2x + 3y ≤ 42 |
  | 3x + y ≤ 24 |
  | x ≥ 0 , y ≥ 0 |
 
1.Inicialmente dibujamos el sistema de coordenadas asociando a un eje la variable x, y al otro la y, como se puede ver en la figura.
2. Marcamos en ellos una escala numérica apropiada de acuerdo con los recorridos de las variables en relación con las restricciones del problema. A continuación dibujamos las restricciones. Comenzando con la primera, dibujamos la recta que se obtiene al considerar larestricción como igualdad. Aparece representada como el segmento que une A con B y la región que delimita ésta restricción viene indicada por el color AMARILLO. Se repite el proceso de la misma forma con la segunda y tercera restricción, y delimitan la región de color AZUL y ROJO respectivamente. La región factible es la intersección de las regiones delimitadas por la terna de restricciones y por lascondiciones de no negatividad de las variables, es decir, por la región de valores admisibles limitada por ambos ejes coordenados. La región factible está representada por el polígono convexo O-F-H-G-C, que aparece de color VIOLETA.

24
22 E
20 A
18 C
16 G
14 I
12 D
10 H
8 F
6 B
4
2
0 2 46 8 B 10

 

 
3. Ya que la región factible es no vacía (problema factible), procedemos a determinar sus puntos extremos, candidatos a soluciones óptimas, que son los puntos O-F-H-G-C de la figura. Finalmente, evaluamos la función objetivo (3x + 2y) en esos puntos, resultado que se recoge en la tabla siguiente. Como el punto Gproporciona el mayor valor al objetivo Z, tal punto constituye la solución óptima, que indicaremos x = 3 y = 12, con valor óptimo Z = 33.
Punto extremo | Coordenadas (x,y) | Valor objetivo (Z) |
O | (0,0) | 0 |
C | (0,14) | 28 |
G | (3,12) | 33 |
H | (6,6) | 30 |
F | (8,0) | 24 |
COMPARACIÓN DEL MÉTODO GRÁFICO CON EL MÉTODO SIMPLEX
MÉTODO SIMPLEX
El método del simplex se basa en la...