tarea

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Matrices
⎡ a11 a12
⎢a
⎢ 21 a22
⎢ M
M
⎢
⎣an1 an 2

• Matriz: Conjunto de elementos
ordenados en filas y columnas
• Los elementos pueden ser números
reales o complejos
• En este curso solo se consideran
matrices con elementos reales

L a1n ⎤
L a2 n ⎥
⎥
O M ⎥
⎥
L ann ⎦

• Las matrices sondenotadas por letras mayúsculas del alfabeto (A, B, C, etc.)
• A cada matriz esta asociado un número de filas y columnas, por ejemplo: A de m x n, es
decir, la matriz A de m renglones y n columnas
• Notación: A = [aij ]
• Dos matrices son iguales si tienen el mismo número de filas y columnas y los elementos
correspondientes son iguales.

Matrices especiales
Triangular Superior
⎡ a11
⎢0
⎢
⎢M
⎢
⎣0

a12
a22
M
0

a1n ⎤
L a2 n ⎥
⎥
M
M ⎥
⎥
L amn ⎦
K

Triangular Inferior
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢ M
⎢
⎣ a m1

0 ⎤
L 0 ⎥
⎥
M
M ⎥
⎥
L a mn ⎦

0

K

a22
M
am 2

Simétrica

Identidad
⎡1 0 K 0 ⎤
⎢0 1 L 0 ⎥
⎢
⎥
⎢M M O M⎥
⎢
⎥
⎣0 0 L 1 ⎦

⎡ a11
⎢a
⎢ 12
⎢ M
⎢
⎣ a1n

a12
a22
M
a2 n

K a1n ⎤
L a2 n ⎥
⎥
O M ⎥
⎥
L ann ⎦

Diagonal
⎡ a11
⎢0⎢
⎢ M
⎢
⎣0

0
a22
M
0

0 ⎤
L 0 ⎥
⎥
M
M ⎥
⎥
L amn ⎦
K

Cero
⎡0 0 K 0 ⎤
⎢0 0 L 0 ⎥
⎢
⎥
⎢M M O M⎥
⎢
⎥
⎣0 0 L 0 ⎦

Matriz Transpuesta
⎡ a11
⎢a
A = ⎢ 21
⎢ M
⎢
⎣ am1
ALGEBRA LINEAL

a12
a 22
M
am 2

a1n ⎤
L a2 n ⎥
⎥
M
M ⎥
⎥
L a mn ⎦
K

• La matriz transpuesta se obtiene cuando se
intercambian las filas por las columnas.
• La transpuesta de la matriz Ade orden
m x n, nos da una matriz de orden n x m
• Una matriz es simétrica si A = AT
1

M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

⎡ a11
⎢a
T
A = ⎢ 12
⎢ M
⎢
⎣ a1n

a21
a 22

M
a2 n

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

K am1 ⎤
L am 2 ⎥
⎥
M
M ⎥
⎥
L amn ⎦

Ejemplos

Triangular
superiorTriangular
inferior

Diagonal

Identidad

Simétrica

⎡1 3 − 4 ⎤
⎢0 6 2 ⎥
⎥
⎢
⎢0 0 − 5 ⎥
⎦
⎣

0 0⎤
⎡ 4
⎢ − 2 − 1 0⎥
⎥
⎢
⎢7
5 3⎥
⎦
⎣

⎡2 0 0⎤
⎢0 6 0⎥
⎥
⎢
⎢0 0 5⎥
⎦
⎣

⎡1 0 0⎤
⎢0 1 0 ⎥
⎥
⎢
⎢
⎦
⎣0 0 1 ⎥

⎡1 4 5 ⎤
⎢ 4 6 3⎥
⎥
⎢
⎢5 3 2⎥
⎦
⎣

Matriz Transpuesta
⎡1 3 − 4 ⎤
A = ⎢5 6 2 ⎥
⎢
⎥
⎢7 8 − 5 ⎥
⎣
⎦

⎡1 5 7⎤
AT = ⎢ 3 6 8 ⎥
⎢
⎥
⎢− 4 2 − 5⎥
⎣
⎦Operaciones elementales
Suma de matrices
Para poder realizar lo suma de dos Matrices A y B es necesario que estas sean del MISMO
ORDEN y cada elemento de lo primera matriz se sumará con el correspondiente elemento
de la segunda matriz aclararemos lo anterior con la siguiente definición:
A + B = [ aij ] + [bij ]

Ejemplo: dadas las Matrices A y B efectuar su suma.
⎡ 3 4 9 4⎤
A=⎢
⎥
⎣2 68 1 ⎦

ALGEBRA LINEAL

⎡1 2 3 0 ⎤
B=⎢
⎥
⎣ 4 5 8 3⎦

2

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M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ

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FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

⎡ 3 + 1 4 + 2 9 + 3 4 + 0⎤ ⎡4 6 12 4⎤
A+ B = ⎢
⎥
⎥=⎢
⎣2 + 4 6 + 5 8 + 8 1 + 3 ⎦ ⎣6 11 16 4⎦
Propiedades:
( [aij ] + [bij ] ) + [cij ] = [ aij ] + ( [bij ] + [cij ] )(A+B)+C = A+(B+C)

[aij ] + [bij ] = [bij ] + [aij ]

A+B = B+A

asociativa

conmutativa

Producto de una matriz por un escalar
Una Matriz de orden m x n puede ser multiplicada por un número diferente de cero dando
como resultado otra matriz del mismo orden:
El producto de una Matriz A de orden m x n por una constante no nula α es la Matriz αA de
orden m x n que se obtiene al multiplicarcada elemento de A por la constante k dando
como resultado:

α A = α aij
⎡ 2 − 4⎤
Si α = 3 y A = ⎢
⎥
⎣3 5 ⎦

⎡6 − 12⎤
15 ⎥
⎦

α A=⎢
⎣9

Propiedades

α ( A + B ) = αA + α B
(α + β )A = αA + βA
(αβ )A = α (βA)
con α ∈ ℜ, β ∈ ℜ

distributiva
asociativa

Multiplicación de matrices
Para multiplicar dos matrices A y B es REQUISITO ( necesario ) que el número de
columnas...