tarea



Un ejemplo de interés compuesto
 
 
 
Cuando depositas dinero en un banco o por el contrario solicitas un crédito, generalmente ambas operaciones se trabajan con interés compuesto. Es decir, los intereses vuelven a causar intereses, de manera que la cantidad ya sea a favor o en contra de nosotros, crece exponencialmente. Veamos.
 
 
 
Supongamos que haces una inversión de P pesos aplazo fijo durante varios años y tu banco te da un interés anual, i, del 8% (es decir i =0.08) capitalizable anualmente. Simbolicemos por P0 a la cantidad inicial que invertiste. ¿Cuánto te dará el banco al término de tres años si te abona los intereses una vez al año?
 
 
 
Al final del primer año, te debieron haber incorporado los intereses que generó tu dinero, por lo que la cantidad inicialpara el segundo año YA NO SON P0 sino esa cantidad más su ocho por ciento P0 + P0 (0.08), es decir, P0(1+0.08). Veamos en la siguiente tabla, cómo calcular el capital final que tendrías, año con año, si decidieras no retirar tu dinero.
 
 
 
Cantidad en pesos al inicio del año
Intereses acumulados en el año
Capital total en pesos al final del año
           P0           +              P0(0.08)              =               P0(1+0.08)
P0(1+0.08)      +        P0(1+0.08) (0.08)       =            P0(1+0.08)2
P0(1+0.08)2      +       P0(1+0.08)2 (0.08)       =            P0(1+0.08)3

P0(1+0.08)n-1         +         P0(1+0.08)n-1 (0.08)     =           P0(1+0.08)n

 
 
 
Es claro que al término de cualquier año, podemos calcular nuestro capital final por medio de lafunción exponencial Pf(t)=P0 (1+0.08)n , cuya base es 1+0.08. De esta manera, si inviertes, por ejemplo $10,000 pesos y no los retiras, al final del primer y quinto año tendrías respectivamente:
 
 
 
Pf (1)=10,000 (1+0.08)1  = 10,000(1.08)1 =10,000(1.08)=$10,800
Pf (5)=10,000 (1+0.08)5  = 10,000(1.08)5 =10,000(1.469328)=$14,693.2
 
 
 
Sin embargo, aunque la tasa sea anual, el bancoconstantemente está recibiendo ganancias con tu dinero y el de todos los inversionistas ya que, prácticamente en cualquier momento, puede hacer préstamos que le generarán ganancias. Así que lo justo es que te reinvierta los intereses con mayor regularidad, ¿no crees? ¿Cómo debe hacerse sin generar un caos financiero? ¡Aquí es donde aparece nuestro amigo el número e!

Sigamos con la misma tasa de interésanual del 8% y supongamos de nuevo que tu inversión inicial fue de $10,000. Ahora, fijémonos solamente en el primer año. Si los intereses de esa tasa anual te los capitalizara el banco (integrara a tu cuenta) dos veces al año, te correspondería un interés de  cada semestre. ¿Estás de acuerdo? ¿Tendrás, al final del primer año, los mismos $10,800 pesos que habías obtenido en el cálculo de lapantalla anterior? Analicemos la situación:

Al final del primer semestre tienes: Pf = 10,000 + 10,000 (0.04) = 10,000 (1 + 0.04) = $10,400
 
 
 
Al final del año tienes: Pf = 10,400 + 10,400 (0.04) = 10,400 (1 + 0.04) = $10,816. Es decir, ¡te corresponden $16 pesos más!
 
 
 
Observa que otra manera de calcular el capital al final del año, cuando la tasa anual fue capitalizablesemestralmente es: Pf = 10,000(1.04)2 = 10,000 (1.0816) = $10,816. Por lo que el exponente indica el número de veces al año en que se integrarán los intereses.
 
 
 
¿Qué sucede si la tasa anual del 8% fuera capitalizable cada tres meses? Es decir, cada trimestre se incorpora a tu cuenta la cuarta parte del interés anual .
 
 
 
1er trimestre
2º  Trimestre
3er trimestre
4º trimestre
10,000(1+0.02)10,000(1+0.02)2
10,000(1+0.02)3
10,000(1+0.02)4
10,000(1.02)
10,000(1.02)2
10,000(1.02)3
10,000(1.02)4
$10,200
10,404.00
10,612.08
10,824.32

 
 
 
Como puedes observar, al capitalizarlo cuatro veces (cada tres meses) en ese primer año te deben dar $24.32 pesos más que si lo capitalizan una vez al final del año.
 
 
 
¿Cuántos pesos más debe de darte el banco si el...