tarea

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

1º BCT

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
1

RAÍCES DE UN POLINOMIO. TEOREMA DEL FACTOR

Se dice que el valor x = a es una raíz de un polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) para x = a es 0,
es decir:
x = a es raíz de P(x) si P(a) = 0
Un polinomio P(x) se dice que es divisible por x – a cuando a es una raíz de P(x):
x = a es raíz de P(x) ⇔ P(a) = 0 ⇔ P(x) : (x –a) es exacta ⇔ x – a es un factor de P(x)

Ejemplos:
2

1) Sea el polinomio P(x) = x – 5x + 6.
Decimos que x = 2 es raíz de P(x) porque se cumple que P(2) = 0
2

P(2) = 2 – 5 · 2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0.
En tal caso, diremos que el polinomio P(x) es divisible por x – 2.
Vamos a demostrarlo empleando la regla de Ruffini:
1

-5
2
-3

2
1

6
-6
0

⇒ El resto es 0, P(x) esdivisible por x - 2

2

2) Demuestra que x = 2 es raíz del polinomio P(x) = x – 5x + 6 , pero x = 1 no lo es.
Para ello, vamos a comprobar que P(2) = 0 y P(1) ≠ 0
2

P(2) = 2 – 5 · 2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0 ⇒ x = 2 es raíz de P(x)
2

P(1) = 1 – 5 · 1 + 6 = 1 – 5 + 6 = 2 ⇒ x = 1 no es raíz de P(x)

2

3) ¿Es x = 1 raíz del polinomio P(x) = x – 2x + 1?
Demostramos que es raíz del polinomioempleando la regla de Ruffini
1
1

Luisa Muñoz

1

1

1

-2

-1

-1

0

⇒ P(1) = 0 ⇒ x = 1 es raíz de P(x)

1

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

1º BCT

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIO

2

Las raíces de un polinomio P(x) son las soluciones de la ecuación P(x) = 0.
Si “a” es una raíz de un polinomio P(x), podemos expresar P(x) como producto de dos factores
P(x) =Q(x)·(x – a), siendo uno de ellos de primer grado.
Si repitiéramos este proceso hasta llegar a un polinomio T(x) sin raíces reales, tendremos expresado el
polinomio P(x) como producto de factores:
P(x) = (x – a)· Q(x)= (x – a)· (x – b) · ... · T(x).
Esta expresión es la descomposición factorial de P(x).
Vamos a ver distintos procedimientos para descomponer un polinomio:

MÉTODOS DEDESCOMPOSICIÓN
2.1.

Buscar divisores de la forma x – a, aplicando la regla de Ruffini

En el apartado anterior, obtuvimos las siguientes conclusiones:
a) Si “a” es una raíz entera del polinomio, entonces “a” es un divisor del término independiente. Por

tanto, las raíces enteras de un polinomio se busca entre los divisores del término independiente.
b) Si “a” es raíz del polinomio P(x), entonces(x – a) es un factor de P(x).
c) El número máximo de raíces de un polinomio es igual a su grado.

Para descomponer factorialmente un polinomio empleando la regla de Ruffini se procede así:
a) Si el polinomio no tiene término independiente, se saca factor común
b) Si el polinomio tiene término independiente, se busca sus raíces enteras entre los divisores del término
independiente.Ejemplo:
2

Descomponer el polinomio x + x – 12
Buscamos las posibles raíces entre los divisores de 12. Probamos con x = 3
1
1

-12

3

3

1

12

4

0

2

⇒ P(3) = 0 ⇒ x = 3 es raíz de x + x – 12

Al ser el resto cero, podemos expresar el polinomio como producto de dos:
2

x + x – 12 = (x – 3) · (x + 4)
La segunda raíz es - 4, el valor que anula el factor x + 4.

LuisaMuñoz

2

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

2.2.

1º BCT

Extraer factor común

Observa la siguiente expresión: a · b + a · c - a · d, se trata de una suma cuyos sumandos son productos y
estos productos contienen un factor común a.
Podemos transformar la suma, extrayendo dicho factor común y colocando entre paréntesis los factores de
cada sumando que quedarían al suprimir dicho factor común:a · b + a · c – a · d = a · ( b + c – d)
Ejemplos:
a) 3x + 3y = 3 · (x + y)
2

b) 4x + 6x = 2 · 2 · x + 2 · 3 · x · x = 2x · ( 2 + 3x)

La transformación no es otra cosa que la aplicación de la propiedad distributiva.
Cuando el factor común coincide con uno de los sumandos, en su lugar queda la unidad:
a + a · b = a · 1 + a · b = a · ( 1 + b)
Ejemplos:
2

a) 2x + 4x = 2 · x · 1 +...