Tarea

Enunciado 1

El movimiento de un cuerpo viene dado por las ecuaciones :
x=3t2+2t;y=2t3+5;z=2t+6
Para t = 2 segundos, calcular la velocidad, la aceleración y los cosenos de los ángulos que forma la velocidad con los ejes cartesianos.
Ver Solución
Sabemos que la velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo; por lo tanto, calculamos sus componentes :
\( \displaystyle v_x =\frac{dx}{dt} = 6t + 2 \quad ; \quad v_y = \frac{dy}{dt} = 6t^2 \quad ; \quad v_z = \frac{dz}{dt} = 2 \)
Componiendo los tres valores obtenemos la velocidad, v, en función del tiempo :
\( v = \sqrt{\left(v_x\right)^2 + \left(v_y\right)^2 + \left(v_z\right)^2 } = \sqrt{\left(6t + 2\right)^2 + \left(6t^2\right)^2 + \left(2\right)^2 }\)

que para t = 2 segundos nos da v = 27,8 m/s.
Para saber laaceleración, derivamos de nuevo las expresiones anteriores :
\(\displaystyle a_x = \frac{dv_x}{dt} = 6 \quad ; \quad a_y = \frac{dv_y}{dt} = 12t \quad ; \quad a_z = \frac{dv_z}{dt} = 0 \)
Componiendo y sustituyendo para t = 2 segundos, resulta :
\( v = \sqrt{\left(a_x\right)^2 + \left(a_y\right)^2 + \left(a_z\right)^2 } = \sqrt{\left(6\right)^2 + \left(12 \times 2\right)^2 + \left(0\right)^2} = 24, 7 m/s^2\)
El valor de los cosenos de los ángulos que forma la velocidad con los ejes cartesianos viene dado por los cocientes respectivos de los módulos de las velocidades de cada componente respecto al módulo de la velocidad total. Tenemos que ya hemos calculado el valor del módulo de la composición de las tres ecuaciones para la velocidad y hemos obtenido un valor de 27,8. De ese modo:\( \displaystyle \cos \alpha = \frac{|v_x|}{|v|} = \frac{14}{27,8} = 0,503 \quad ; \quad \cos \beta = \frac{|v_y|}{|v|} = \frac{24}{27,8} = 0,863 \)

\( \displaystyle \cos \gamma = \frac{|v_z|}{|v|} = \frac{2}{27,8} = 0,071 \)

Enunciado 2

La ecuación de un movimiento en función del tiempo es :
x=t4−2t3+t2+4; x en cm ; t en segundos
Calcular el valor de t para que la aceleraciónsea máxima y obtener la velocidad en ese momento; Calcular también los valores de t para que la velocidad, por una parte, y la aceleración, por otra, sean nulas.
Ver Solución.
Ejercicios de Física - Respuesta 2
El primer apartado significa que la segunda derivada de la ecuación del enunciado debe ser máxima. Para el cálculo obtenemos el valor de las raices de la primera derivada (que sería lavelocidad) :
\( \displaystyle \frac{dx}{dt} = 4t^3 - 6t^2 + 2t \quad ; \quad t_1 = 0 \quad ; \quad t_2 = 0,5\)
Sabemos que una función tiene un máximo cuando su primera derivada se anula y la segunda tiene un valor negativo. Si calculamos la segunda derivada de la expresión inicial resulta :
\( \displaystyle \frac{dx}{dt} = 12t^2 - 12t + 2 \)
Sustituyendo los valores anteriores tenemos unmáximo para t = 0,5 s. La velocidad en ese instante, según las operaciones efectuadas, será v = 0 cm/seg.
Los valores de t para los que se anula la velocidad son, como hemos visto, las raices de la ecuación derivada de la expresión del espacio, es decir, t = 0 ; t = 1 y t = 0,5.
Los valores de t para los que se anula la aceleración son las raices de la segunda derivada :
\( \displaystyle\frac{d^2x}{dt2} = 12t^2 - 12 + 2 \quad ; \quad t_1 = 0,21 \quad ; \quad t_2 = 0,78 \)

Enunciado 3

Un avión se mueve horizontalmente con una velocidad uniforme de 720 km/h volando a una altura de 2000 m. Desde tierra se lanza un proyectil en el instante en que pasa por su vertical.
Hallar la velocidad inicial mínima y el ángulo necesario para batir al avión.
Ver Solución
El proyectil debeser lanzado con un ángulo de inclinación, α , tal que pueda alcanzar al avión en altura y desplazamiento.
Si tenemos que v0 debe ser la velocidad mínima, la altura a la que va el avión será la máxima.
De acuerdo con la ley de conservación de la energía, podemos igualar las energías cinética y potencial para escribir :
\( \displaystyle m·g·h = \frac{1}{2}·m v_0^2· \sin ^2 \alpha \quad...