tarea

Título: Matrices y determinantes
Autor: c Juan José Isach Mayo
Fecha: 04 Septiembre del 2007

2

Contents
I

Matrices y determinantes

5

1 Matrices
1.1 Suma de matrices del mismo orden . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Multiplicación de un número real por una matriz . . . . . . . .
1.3 Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Propiedades delproducto de matrices cuadradas . . . . . . . .
1.5 Matriz inversa de una matriz cuadrada respecte al producto . .
1.5.1 Propiedades de las matrices regulares . . . . . . . . . .
1.5.2 Cálculo de la matriz inversa (Método de Gauss-Jordan)

.
.
.
.
.
.
.

7
9
11
12
13
16
16
19

2 DETERMINANTES
27
2.1 Determinante de una matriz cuadrada de orden 2 . . . . . . . . . 27
2.2Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 . . . . . . . . . 27
2.3 Menor complementario del elemento ai;j de una matriz cuadada . 28
2.4 Adjunto del elemento ai;j de una matriz cuadrada . . . . . . . . 28
2.5 Determinante utilizando adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Matriz adjunta de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.1 Propiedades de la matriz adjunta .. . . . . . . . . . . . . 32
2.7 Matriz inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.1 Pasos para calcular la inversa de una matriz regular . . . 33
2.8 Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 RANGO DE UNA MATRIZ
37
3.1 Propiedades del rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Cálculo del rango de una matriz por elmétodo de Gauss . . . . . 37
3.3 Calculo de rangos por menores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 PROBLEMAS DE MATRICES Y DETERMINANTES
45
4.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3

4

CONTENTS

Part I

Matrices y determinantes

5

Chapter 1

Matrices
De…nition 1 Matriz de orden mxn
Es un conjunto de ”
mxn”elementos de uncuerpo conmutativo K, dispuestos
en m …las y n columnas de la siguiente manera:
0
1
a1;1 a1;2 :::::::::: a1;n
B a
a2;2 :::::::::: a2;n C
C
A = B 2;1
@ ::
A
::
:::::::::: ::
am;1 am;2
am;n mxn

donde el elemento ai;j representa el elemento del cuerpo K , que ocupa la
…la i-ésima y la columna j-ésima
1
0
2+i 3
1+i
1+i 1 i A
En esta matriz sus elementos
Example 2 A = @ 4
p
32i
2 3 + 2i 3x3
p
son números complejos (Recuerda que i =
1)
1
0
2 3
1
1 A
En esta matriz sus elementos son números
Example 3 A = @ 4 1 p
3
2 3 3x3
reales
Remark 1 A partir de ahora trabajaremos siempre con matrices cuyos elementos serán números reales; salvo que se indique lo contrario
De…nition 4 Matriz …la
Es una matriz de orden 1xn A = a1;1 a1;2 :::::::: a1;n 1xn . También se!
llama matriz …la del vector f 2
;
10
11 22
de la 1a y la 2a
Recuerda que si una …la es combinación lineal de otras; entonces el rango de
la matriz inicial coincide con el rango de la matriz obtenida al suprimir dicha
…la
1
0
1
0
1
2
3
0
4
1
2
3
0
4
C
B 2 1
3
5
2 C
B 2 1
B
3
5
2 C
C
11 3
15 22 C = Rang B
Rang B 10
C
B
@ 23
22
3
40 44 A
A
@ 23
22
340 44
25
29 12
35 57
25
29 12
35 57
3a ¿ La 4a …la es combinación lineal de la 1a y la 2a ?
Para contestar a esta pregunta; tendré que orlar el menor no nulo anterior (el
de orden dos) con los elementos de la 4a …la y el resto de columnas formando así
1
2
3
1
2
0
1
2 4
2 1
3
2 1
5
2 1
2
los siguientes menores de orden tres
23
22
3
23
22
40
23
22 44
9
1
2
3
>
>>
2 1
3
=0 >
>
>
>
>
23
22
3
>
>
>
>
1
2
0
=
2 1
5
! La cuarta …la también es combinación
=0
Como
>
>
23
22
40
>
>
>
>
1
2
4
>
>
>
2 1
2 =0 >
>
>
;
23
22 44
a
a
lineal de la 1 y la 2
Recuerda que si una …la es combinación lineal de otras; entonces el rango de
la matriz inicial coincide con el rango de la matriz obtenida al suprimir dicha
…la...