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C OL EGIO

División algebraica I
(Método de Horner)

• Polinomio ordenado (con respecto a una variable)

Como ya sabes, las cuatro operaciones aritméticas
fundamentales son:
SUMA

RESTA

+

-

PRODUCTO

Para dividir polinomios, el ordenamiento de los
exponentes de sus variables debe ser en forma
decreciente, partiendo desde su grado.

DIVISIÓN



x

Ejemplos:

Deigual manera, en el Álgebra se verán estas cuatro
operaciones.

+

• PRODUCTO +

Q( y ) = y 4 + y 3 + y 2 + y + 1

3.

Fueron vistas en los dos primeros capítulos del bimestre (operaciones con polinomios I y II).

Observa los
exponentes de
las variables.
Los dos primeros
polinomios están
ordenados.
El último no.
¿Por qué?

2

P ( x ) = 5x - 2x + 7x + 1

2.

Así, porejemplo:

• SUMA
y
• RESTA

3

1.

S (z ) = z3 + z + z2 - 1

Hoy, estudiaremos la división mediante el "Método de
Horner".

Fue visto durante las dos últimas clases. (Capítulos III y IV:
Productos notables I y II).

Método de Horner

¡¡Es el capítulo de hoy!!...

• DIVISIÓN

En la división:

P (x)
T(x)

Parte teórica

• P(x) es el DIVIDENDO
• S(x) es el COCIENTE

Paradividir polinomios, existen tres métodos:
1. Método clásico
2. Método de William Horner
3. Método de Paolo Ruffini

Q (x)
S (x)
• Q(x) es el DIVISOR
• T(x) es el RESIDUO

En el método de Horner, se hará uso del siguiente
diagrama:

Sin embargo, sea cual fuere el método que usemos, es
necesario que los polinomios a dividir estén completos y
ordenados en forma descendente.
•Polinomio completo (con respecto a una variable)

el cuál será llenado de la siguiente manera:
Este
coeficiente
no cambia
de signo

Ejemplos:
1.

P

(x)

Estos
coeficientes
sí cambian
de signo

= 5x2 - 2 + 7x + 9x 3
3

2. Q( x ) = 2 x −

7
2

2 2

2

x + 2( x ) − x + 11

3. S(z) = z3 + 5 - 6z + z 2

C

COEFICIENTES DEL DIVIDENDO

O
E
F



Significa queel polinomio debe poseer todas las
potencias, de la variable en referencia, inferiores a su
grado.

D
E
L

D
I
V
I
S
O
R

Aquí irán los coeficiente
del cociente

57

Aquí irán los
coeficiente del residuo

Álgebra
Mediante operaciones entre los coeficientes dados
(DIVIDENDO Y DIVISOR) se obtendrán los coeficientes
requeridos (COCIENTE Y RESIDUO), los cuales permitiráncalcular los polinomios resultantes.

como la división no deja resto, entonces:
-m + 30 = 0
→ m = 30
n - 22 = 0
→ n = 22
-p + 12 = 0
→ p = 12
4. Calcular “p” y “q”, si la división es exacta:

resueltos

x 4 + px 2 + q
x 2 + 6x + 5

1. Dividir:
x 2 − x 3 + x 4 − 3x + 2

Resolución:
ordenando y completando:

x2 + x + 2

x 4 + 0x 3 + px2 + 0x + q

Resolución:
ordenando elpolinomio dividendo:

x 2 − 6x + 5

x 4 − x 3 + x 2 − 3x + 2

1
6
-5

2

x +x+2

1
-1
-2

1

-1
-1

1

1
-2
2
1

-2

-3
4
-1
0

2

1

0
6

1

-2
0

p
-5
36

0

q

-30
-5p-155
6p+186
p+31 (6p+156) (-5p+q-155)

6

como es exacta:
156
→ p = −26
6
-5p + q - 155 = 0 → -5(-26) + q - 155 = 0

luego:
cociente: Q(x) = x2 - 2x + 1
resto:R(x) = 0

6p + 156 = 0 → p = −

q = 25

2. Efectuar la división de polinomios:
8 x 5 + 14 x 4 + 5 x 3 + 16 x 2 + 3x + 2
4x2 + x + 3

Resolución:

4
-1
-3

8

2

14
-2

3

5
-6
-3
-1

16

3

-9
1

3
-2
4

2

Bloque I

2

1. Dividir:
3

-6
-4

2

a) 2x - 5
d) -6x + 25

3

12 x 5 − 9 x 4 + 14 x 3 − mx 2 + nx − p

2

3x  5

sucociente es:

Resolución:

-9
0

-3

14
-8
0

-m
24
6
0

c) x+ 5

6 x  19x  18x  9

3x 3 + 2 x − 6

4

b) -26x + 5
e) 5x - 2

2. Al dividir:

3. Hallar “m”, “n” y “p”; si la división no deja resto:

12

3x  5 x  2

el residuo es:

cociente: Q(x) = 2x3 + 3x2 - x + 2
residuo: R(x) = 4x - 4

3
0
-2
6

2

6 x  25 x  3x  5

n
-18
-4

a) 2x2 -...