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Máximos y mínimos

En esta sección se muestra como usar la primera y segunda derivada de una función en la búsqueda de valores extremos en los llamados: “problemas de aplicaciones” o “problemas de optimización”. Aunque los ejemplos son esencialmente geométricos, ellos ilustran un procedimiento general.
Antes de enumerar los pasos que se deben seguir al abordar problemas que incluyen extremosabsolutos, se enuncia sin demostración, un teorema, conocido como el criterio de la segunda derivada, el cual permite, en algunos casos, determinar, de una manera mas fácil, si un punto crítico dado corresponde a un máximo o a un mínimo relativo.

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
Sea f una función dos veces derivable en un intervalo abierto I, sea c unpunto de I, tal que . Entonces: 0)('=cf
i. Si , entonces, f presenta un máximo relativo en c. 0)(''cf

Observación:
Si , entonces, la naturaleza del punto crítico c no queda determinada, como lo ilustran los siguientes casos: 0)(''=cf
La función, f (x) = x4, satisface: f ’ (0) = 0 y f ’’ (0) = 0. Sin embargo, f (x) presenta un mínimo relativo en x = 0 (fig. 4.21 (a)).





Igualmente,la función: g (x) = - x4, satisface: g ’ (0) = 0 y g ’’ (0) = 0. Sin embargo, g (x) presenta un máximo relativo en x = 0 (fig. 4.21 (b)).
También, la función, h (x) = x3, satisface: h ’ (0) = 0 y h ’’ (0) = 0, pero h (x) es creciente en todo el eje real y no presenta extremo relativo en x = 0 (fig. 4.21 (c)).
En lo que sigue se considerarán algunos problemas cuya solución es un extremo absolutode una función definida en un intervalo cerrado. Se hace uso del teorema 2 de la sección 4.22 (Teorema de los valores extremos), el cual garantiza la existencia de un valor máximo absoluto y de un valor mínimo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado.
Se enumeran a continuación algunos pasos que son útiles al abordar un problema de esta naturaleza.
Hallar los máximos y mínimosde las siguientes funciones









f(x) = x3 − 3x + 2





La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:
C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300
1. Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primeroy del último.
2. Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.
5Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:
r = 300t (1−t).
Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:
1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
3. ¿Cuando se obtiene el mayorrendimiento y cuál es?

Problemas de optimización.
1. Hacer hasta donde sea posible un dibujo indicando las variables que intervienen en el problema.
2. Determinar la función a maximizar o minimizar asi como el intervalo en el cual está definida.
3. Utilizar la información del problema para expresar la función obtenida en el paso 2., en términos de una sola variable.
4. Utilizar la regla prácticadada en la observación al teorema 2 de la sección 9.9.3. Para encontrar extremos absolutos.
Se ilustra el procedimiento anterior con algunos ejemplos.

1. Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de 300 mts. de ancho. El punto D está a 600 mts. de B y en su misma orilla. (fig. 4.22). Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D.Si el costo por metro de cable es el 25% más caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo se debe tender el cable, para que el costo total sea mínimo?.










2. Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que:
a. La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.
b....