tarea

Funciones
Luis Ángel Zaldívar Cruz
Departamento de Ciencias Básicas
Instituto Tecnológico de Tehuacán

5 de abril de 2014

1.

Concepto

El concepto de función surge de manera natural cuando se relacionan los
elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto. Consideremos
algunos ejemplos:
A cada libro en una biblioteca le corresponde un único número de páginas.
A cadaalumno del Instituto Tecnológico de Tehuacán le corresponde un
único número de control.
Al radio r de un círculo le corresponde un único número real A que representa su área.
En estos ejemplos, se observa que existe una relación especial entre los elementos
de un conjunto X y los elementos de otro conjunto Y. La relación tiene una
dirección que va del conjunto X al conjunto Y. Por esta razóndenominaremos
al conjunto X como el conjunto de partida y al conjunto Y como el conjunto
de llegada.
En el primer ejemplo, el conjunto de partida es el conjunto de libros de la
biblioteca y el conjunto de llegada es el conjunto de los enteros positivos. En el
segundo ejemplo, el conjunto de partida son los alumnos que están inscritos en
el Instituto Tecnológico de Tehuacán y el conjunto dellegada es el conjunto de
los enteros positivos. En el tercer ejemplo, el conjunto de partida es el conjunto
de los números reales y el conjunto de llegada también es el conjunto de los
números reales.
Además, la relación entre los elementos de los dos conjuntos es especial en el
sentido de que a cada elemento en X le corresponde un y solamente un elemento
del conjunto Y.
En el primer ejemplo,a cada libro le corresponde un único número entero
que representa el número de páginas del libro. En el segundo ejemplo, se sabe
que un alumno del Instituto Tecnológico de Tehuacán no puede tener más de un
número de control. En el tercer ejemplo, sabemos que el área de una superficie
plana se representa mediante un único número real.
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Figura 1: Una función f del conjunto X al conjuntoY.
Los ejemplos anteriores ilustran el concepto de función que intuitivamente
podemos definir (de manera incompleta) como sigue:
Definición 1. Sean X y Y dos conjuntos. Una función de X a Y, denotada
por f : X → Y , es una regla de correspondencia que hace corresponder a cada
elemento x ∈ X un y solamente un elemento y ∈ Y .
Esta noción de función se ilustra en la Figura 1. Cabe mencionar quelas
funciones usualmente se denotan mediante letras como f, g, h, F, G, H, etc.
En este curso consideramos que los conjuntos de partida y de llegada son
conjuntos de números reales; esto es, las funciones que estudiaremos son funciones reales de variable real, las cuales se denotan mediante el símbolo f : R → R.
En este sentido restringido, podemos considerar a una función como una relaciónde dependencia entre dos cantidades, relación que usualmente se expresa
mediante la ecuación y = f (x). Esta ecuación nos dice que el valor de la variable
y depende del valor que tome la variable x ; es decir, que “y es una función de x ”.
Además, f (x) representa el valor y que la función f asigna al elemento x por lo
que se le conoce como el “valor de f en x ” y se lee “f de x ”. Consecuenciade este
sentido restringido, a la variable y se le conoce como la variable dependiente y
a la variable x como la variable independiente.
Ilustramos este sentido restringido con dos ejemplos:
El área A de un círculo depende de la longitud de su radio r y está dada
por la fórmula A = πr2 . Esta ecuación expresa que A = f (r) donde
f (r) = πr2 . Además, r es la variable independiente y A es lavariable
dependiente.
La distancia s (en pies) que recorre un objeto en caída libre en los primeros
t segundos está dada por la fórmula s = 16t2 . Esta ecuación expresa que
s = f (t) donde f (t) = 16t2 . Además, t es la variable independiente y s la
variable dependiente.
Ejemplo 1. Sea f (x) = x2 para todo número real x. Calcule: (1) f (3), (2) f (2),
(3) f (−2).
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Solución
1. f...