tarea



SEGUNDA LEY DE NEWTON
La fuerza que actúa sobre un objeto de masa constante m esta relacionada con la aceleración del objeto como sigue:


Se va a mostrar a continuación como poder determinar la posición de un objeto que se mueve cerca de la superficie de la tierra sometido únicamente a la influencia de la gravedad;
Ejemplo:
Se dispara una bala con una velocidad inicial con unrifle cuyo cañón tiene su boca a una altura metros sobre el suelo. La única fuerza que actúa sobre la bala es la debida a la gravedad, que produce la aceleración . Determinar la posición a la t segunda.



Trio Parabólico











La boca del canon esta en el origen O y la velocidad inicial tiene dirección y magnitud ydenotamos por la posición del proyectil después de un tiempo t y sea el vector correspondiente a .
Supongamos que la resistencia del aire es despreciable y que la única fuerza que actúa sobre el proyectil es la gravedad.
Como la aceleración de la gravedad apunta hacia abajo tenemos
Donde
De acuerdo con la ley de Newton, la fuerza que actúa sobre un objeto de masa es:

De aquítenemos la ecuación diferencial:
Ya que la segunda derivada es la aceleración
Integrando obtenemos:

Donde c es algún vector constante. Como es la velocidad en el tiempo t


Por lo tanto
Integrando:

Como

Lo cual puede escribirse


Igualando componentes:





De aqui que la trayectoria de un proyectil es parabólica


Paraencontrar el alcance, la distancia hacemos








Aplicando identidad trigonométrica

Alcance
Y tendrá su máximo valor si porque el valor máximo de es uno


Se obtiene a 45 grados el alcance máximo


Altura máxima
En la altura máxima estaría a la mitad del alcance



La mitad sería:
Sustituyendo en la ecuación paramétrica


Despejando tsustituyendo t en y tenemos:




altura máxima























Ejemplo:
Se dispara una bala con una rapidez inicial de 1500 a un angulo de elevación del canion de calcule:
a) La velocidad en función del tiempo
b) La altura máxima
c) La rapidez con que la bala llega al suelo
d) El alcance

Solucion
a)









b)






c) el tiempo en el quela bala llega al suelo esta dada por

sustituyendo valores.




sustituyendo t en la velocidad tenemos

















































Definición











MOVIMIENTO

Se utiliza la segunda derivada para estudiar el movimiento, en cuyo caso representa la aceleración. En los ejemplos se ilustra como lasegunda derivada contiene información sobre un objeto que se mueve bajo la acción gravitatoria.

1. Una piedra cae a pies en los primeros t segundos. Hallar su velocidad y su aceleración.
Solucion:
Se coloca el eje en posición habitual, con el 0 en el inicio de la caida y la parte positiva por encima del 0. En el instante t el objeto tiene por coordenada y.
Y=-16
La velocidad es(-16)=-32t pies por segundo y la aceleración es (-32)=-32 pies por segundo, cada segundo.
La velocidad varia a ritmo constante, es decir , la aceleración es constante.

2. Traducir esta noticia al lenguaje del calculo : >.
Solucion:
Sea y una funcion derivable de t que describe el numero de personas sin empleo en el instante t. Al transcurrir tiempo cambia y:
Y=(t).
El ritmo de cambio deldesempleo es la derivada:

La noticia de que > se reduce a:
>0
Hay optimismo en la noticia, pues el ritmo de crecimiento, , esta decreciendo (>). La funcin es decreciente. Luego su derivada:

es negativa : < 0. En resumen, la mala noticia es que es positiva,
pero hay buenas noticias es negativa.
La promesa de que >significa que pronto se hara 0, y entonces cambiara el...