Tarea

Problema resuelto
Miguel Angel Castillo

Un recipiente en forma de cono invertido tiene altura de 16 cm y un radio de 5 cm en la parte superior.
Está parcialmente lleno con un líquido que exuda atravez de los lados con una razón proporcional al
área del recipiente que está en contacto con el líquido. Si se vierte liquido en el recipiente a razón de 2
cm 3 / min, la altura del líquidodisminuye a razón de 0.3 cm/min , cuando esa altura es de 10 cm. Si se
quiere mantener el líquido a una altura constante de 10 cm, ¿con qué rapidez debemos verter el líquido
en el recipiente?

SoluciónLa figura siguiente muestra el depósito cónico y el líquido contenido a una profundidad h

En cualquier momento, el volumen del líquido en el depósito está dado por
V  1 r 2 h
3
Por medio detriángulos semejantes se tiene que
r5
16
h
5h
r
16
Al sustituir r en la fórmula del volumen del cono se tiene
V  1 r 2 h   1
3
3
25 h 3
V
768

5h
16

2

h

La razón a lacual cambia el volumen del liquido contenido en el depósito se obtiene derivando
ambos lados de la ecuación anterior con respecto al tiempo
DtV  Dt

25 h 3
768

 25 3h 2 D t h
768

D tV  25 h 2 D t h
256
Cuando h  10 y D t h  −0. 3 (disminuye) se tiene que la razón de cambio del volumen en el
líquido dentro del cono es

1

D t V  25 10  2 −0. 3  − 375 
256128
Observe que hasta ahora no se ha usado el hecho que que el cono suda ni la cantidad de líquido
que entra al depósito.
La razón a la cual cambia el líquido en el depósito está dada por ladiferencia entre el líquido que
entre menos lo que se fuga por el sudor, que es proporcional a la superficie del cono que está en
contacto con el líquido.
El área superficial de un cono es A  rl  r r 2 h 2 . Como lo que suda es proporcional a ésta
superficie se tiene que la cantidad de liquido que se fuga del cono es kr r 2  h 2
La cantidad de líquido que entra al depósito es 2 cm 3 / min....