Tarea

1.2. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. BASES
Definición 4. (Dependencia e independencia lineal)
Sea V un K-espacio vectorial y sean v1 . . . , vm 2 V . Se dice que la familia
de vectores S ={v1, . . . , vm} es linealmente dependiente si existen
a1, . . . , am 2 K, no todos nulos, tales que:
a1v1 + a2v2 + · · · + amvm =¯0
o, dicho de otro modo, si existe un vector vi 2 S que se puedeponer como
combinación lineal del resto.
Se dice que el conjunto de vectores S = {v1, . . . , vm} es linealmente independiente
si no es linealmente dependiente, esto es, de ser cierta la igualdad
a1v1+ a2v2 + · · · + amvm =¯0,
entonces a1 = · · · = am = 0. Esto equivale a decir que ningún vector de S se
puede poner como combinación lineal del resto.
Observación 3. 1. {v1} es l.i. (linealmenteindependiente) si y sólo si
v1 6=¯0.
1.2 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. BASES 3
2. Si {v1, . . . , vm} es l.d. (linealmente dependiente), entonces
{v1, . . . , vm, vm+1, . . . , vm+r}también es l.d..
3. Si {v1, . . . , vm, vm+1, . . . , vm+r} es l.i., entonces {v1, . . . , vm} es l.i..
Definición 5. (Sistema de generadores)
Un conjunto de vectores S  V es un sistema de generadoresdel espacio
vectorial V si L(S) = V .
Propiedades.
1. Si S = {v1, . . . , vm} es un sistema de generadores de V , con vi combinación
lineal de los restantes vectores, entonces {v1, . . . , vi−1,vi+1, . . . , vm} es también un sistema de generadores de V .
2. Si {v1, . . . , vm} son l.i., entonces cualquier sistema de generadores de
V tendrá, al menos, m elementos.
Definición 6. (Base)
Unafamilia de vectores B  V es una base del espacio vectorial V si es
linealmente independiente y sistema de generadores de V .
Si V admite una base finita B = {v1, . . . , vn} de n vectores, lollamaremos
espacio vectorial de dimensión finita. Diremos que la dimensión de V es n,
dim(V ) = n.
Propiedades. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n. Entonces:
1. Cada vector v 2 V se...