Tarea

Ejercicios (Capítulo 2, Sección 5)

En los ejercicios 1-6, identifique las expresiones dadas como derivadas direccionales de funciones
de varias variables en la dirección de un vector unitario v. Obtenga la derivada direccional que se
indica.
1.limt--0 (x+t/2)(y+t/2)2 - xy2

2. limt--0 (x - 3t/2)1/2(y + t/2)1/2 - xy

3. lim t—0 ln sen2((x + t)4 y) -In sen2(x4 y)

4. lim t—0(y + t)2 cos3(xy + xt) – y2 cos3(xy)

5.limt--0 (x + 2t/3)(y + 2t/3)(z - t/3) – xyz
En los ejercicio 7-15, calcule la derivada direccional de la función dada en la dirección del vector
indicado.
7. f(x, y) = 3x - 2y, v = (l/V2, 1/V2)
8. f(x, y) = 3x - 2y, v = (-1/V2, -1/V2)
9. f(x, y) = x 2 + y2, v = (a, b), en el punto (0,0).
10. f(x, y) = xy2 +x2y, v = (1, O).
11. f(x, y) = x 3 1+ 3 tan6(x2 +X 102), v = (O, 1).
12. f(x, y, z) = z sen y3 cos(x5 +tan y3), v = (0,0, 1).
13. f(x, y, z) = xyz, v = (1/3, -2/3,-2/3)
14. f(x, y, z, u) = xyzu, v = (1/3, -2/3, --2/3, O).
Pag 197 Ejercicios (Capítulo 2, Sección 8)
1. Determine el vector gradiente de las siguientes funciones en los puntos indicados.
a. f(x, y) = 3x2 y + cos(xy) en el punto p = (1,1)
b. f(x, y) = xY en elpunto p = (2,2)
c. f(x, y) arctan x+yx-y en el punto (1, O)

d. f(x, y, z) = (sen x)(cos y)(tan z) en el punto p = (7T/ 4, 7T/4, 7T/ 4)
2. Calcule el ángulo entre los gradientes de la función
a. f(x, y) = 3x2 + y2 en los puntos (2,1) Y (1, 2),
b. f(x, y, z) = xy2z3 en los puntos (1,1, 1) Y (1, -1, -1).
3. Calcule el ángulo entre los gradientes de las funciones
a. f(x, y) = xy y g(x, y) =x2 –y2 en el punto (2,1),
b. f(x, y, z) = x4 + 3y4 z y g(x, y, z) = x + 3y - 2z en el punto (1, 2,1).
En los ejercicios 4-10 se da una función, un punto p de su dominio y un vector ti. Escriba en cada
caso la descomposición del vector grad f(p) en sus componentes ortogonales, una de las cuales está
en la dirección del vector u dado. Es decir, determine el escalar a tal que grad f(p) = αu+ w,donde w es un vector ortogonal a u.
4. f(x, y) = 4x - 16y, p = (2, 1), u = (1, 1)
5. f(x, y) = x2 + 3xy + y2, p = (1,1), u = (0,1)
6. f(x, y) = x sen y + y sen x, p = (O, 7T), u = (2, 3)
1+x2
7. f(x, y) = 1+x1+y P = (O, 0),11 = (1, 1)
1+ y2
8. f(x, y, z) = x + y + z, P = (1,1, i), u = (1, 1, 1)
9. f(x, y, z) = x2 + l + Z2, P = (l, 1, 1), u = (-1,0,1)
10. (x, y, z) = ln(2+ x2 + y4+Z6), P = (1,2, 0) u= (0,0,5)
Ejercicios (Capítulo 2, Sección 9)
Para cada una de las funciones z = l(x, y) dadas en los ejercicios 1-10, determine un vector normal
a su gráfica en el punto indicado
-----------------------------
1. f(x, y) = 1 en un punto cualquiera p = (xo, Yo)
2. f(x, y) = -128π2 en un punto cualquiera p = (xo, Yo)
3. f(x, y) = x + 12 en un punto cualquiera p = (xo, Yo)
4.f (x, y) = x - 125 en un punto cualquiera p = (xo, Yo)
5. f(x, y) = xy en un punto cualquiera p = (xo, Yo)
6. f(x, y) = sen x + sen y en el punto p = (O, O)
7. f(x, y) = eY cosx en el punto p = (0,1)
8. f(x, y) = 2x2 + 5y3 en el punto p = (2, -1)
9. f(x, y) = ln(2 + x + y) en el punto p = (o, o)
10. f(x, y) = sen(senxcosy) en el punto p = (pi, pi)
En cada uno de los ejercicios 11-15, sedan ecuaciones de superficies en IR3 Con ellas como
superficies de nivel de funciones It = F(x, y, z), determine un vector normal a cada una en los puntos
indicados,
11. xyz = 1 en el punto p = (1, 1, 1)
12. xy + xz + yz- 3 = 0 en el punto p = (1, 1, 1)
13. x2 + y2 - Z2 = O en los puntos p = (3,4,5) Y q = (-3, -4, -5)
14. x 2 y2 +x 2Z2 + y2 Z2 + xyz - 4 = O en el punto p = (1,1,1)
15. xY +X Z + ZX - 3xyz = 0 en el punto p = (1, 1, 1)

Ejercicios (Capítulo 2, Sección 10)
En los ejercicios 1-5 se da una función diferenciable z = f(x, y) y un punto p = (xo. Yo) de su
dominio; Determine la ecuación del plano tangente a la gráfica de la función dada en el punto p.
1. f(x, y) = 3x + 8y - 10, p = (xo, Yo)
2. f(x, y) = x 3 + 8y3, P = (O, O)
3. f(x, y) = xY, P = (2, 1)
4. f(x, y)...