Tarea

Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

Ejemplo
Calcula la distancia del punto P(2,- 1) a la recta r de ecuación 3 x + 4 y = 0.

Distancia al origen de coordenadas

Ejemplo
Hallar la distancia al origen de la recta r ≡ 3x - 4y - 25 = 0.

3.2 Distancia de un punto a una rectaSe llama distancia de un punto P a una recta r a la longitud del segmento perpendicular del punto a la recta. Es la distancia del punto P a su proyección P', sobre la recta r.
La distancia se puede calcular por dos métodos.
1º En primer lugar debemos hallar el plano p, perpendicular a r que pasa por P. La intersección de p y r es el punto P' buscado, y con él se calcula la distancia.
2ºDe la recta conocemos un punto R y su dirección, d. El área del paralelogramo de lados d y PR la podemos calcular con el módulo del producto vectorial. Si el área del paralelogramo la dividimos por su base | d | obtenemos su altura.

En resumen, dada una recta:
y = ax + b
Y un punto:
p = (n, m)

La distancia será:
d = abs ( a*n - m + b ) / raiz ( a² + 1 )

Un ejemplo facil de vermentalmente:
y = 0x + 1
p = (4,5)
La distancia es 4, ya que el punto está a 5 de altura y la recta es horizontal a 1 de altura. Con la fórmula:
d = abs(0*4 - 5 + 1) / raiz(0²+1) = abs(-4) / raiz(1) = 4/1 = 4

Distancia de un punto a una recta:

Ecuación Base: 3x+y+2=0
Punto Base: (2,1)

Ok. Primeramente procedemos a establecer variables de la ecuación cuadrática con coeficientes de tuecuación.

Dada la ecuación general de las cuadráticas:
Ax+By+C = 0
y tu ecuación base: 3x+y+2=0 entonces
A=3
B=1
C=2

Ahora, proseguimos estableciendo las variables de un punto con la coordenada de tu punto.

Dada la fórmula general de un punto:
P(punto)=(x,y)
y tu punto base: (2,1) entonces
x=2
y=1

Ahora bien, hay una fórmula para calcular la distancia mínima entre un punto y unarecta. En tu caso tenemos la recta (3x+y+2=0) y un punto (2,1) para calcular la distancia entre los mismos; por lo que haremos uso de esta fórmula, la cual es la siguiente:

d = |(Ax+By+C )| / √ ( A^2+B^2)

donde "d" es la distancia mínima entre un punto y una recta;
donde "A", "B" y "C" ya los conocemos (pues ya los establecimos anteriormente);
donde "x", "y" ya los conocemos por igual (pues yalos establecimos anteriormente)

Por lo anterior, ya te habrás dado cuenta que solo hay que sustituir la fórmula anterior de distancia, entre un punto y una recta, por los valores que ya hemos establecido para cada una de las variables, al principio de la respuesta.

Sustituimos y queda de la sig. forma:
d= |(Ax+By+C)| / √ ( A^2+B^2)
Simbología: || (valor absoluto de); √ (raíz de) ; ^(elevado a)

d= |3(2)+1(1)+2| / √ (3^2+1^2)

Resolvemos:
d=|6+1+2| / √ (9+1)= |9| / √ 10 = 9/ √10= 9/ 3.1622= 2.8461

d= 2.8461 [resultado aproximado]

d= 2.8460498941515413987990041899Ecuación Base: 3x+y+2=0
Punto Base: (2,1)

Ok. Primeramente procedemos a establecer variables de la ecuación cuadrática con coeficientes de tu ecuación.

Dada la ecuación general de las cuadráticas:Ax+By+C = 0
y tu ecuación base: 3x+y+2=0 entonces
A=3
B=1
C=2

Ahora, proseguimos estableciendo las variables de un punto con la coordenada de tu punto.

Dada la fórmula general de un punto:
P(punto)=(x,y)
y tu punto base: (2,1) entonces
x=2
y=1

Ahora bien, hay una fórmula para calcular la distancia mínima entre un punto y una recta. En tu caso tenemos la recta (3x+y+2=0) y un punto(2,1) para calcular la distancia entre los mismos; por lo que haremos uso de esta fórmula, la cual es la siguiente:

d = |(Ax+By+C )| / √ ( A^2+B^2)

donde "d" es la distancia mínima entre un punto y una recta;
donde "A", "B" y "C" ya los conocemos (pues ya los establecimos anteriormente);
donde "x", "y" ya los conocemos por igual (pues ya los establecimos anteriormente)

Por lo anterior,...