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 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita.
Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícitade x.

Por ejemplo:
define a y como una función implícita de x. Es claro que por medio de esta ecuación x se define igualmente como función implícita de y.
Uno de los procedimientos para calcular la derivada implícita es derivar la ecuación término a término, considerando y como función de x, y de la ecuación resultante despejar , o lo que es lo mismo despejar y’.

Ejercicio 1.
Hallardy/dx o y’en la función .
Solución
Calculando la derivada:

Derivando:

Pasando términos semejantes:

.

Factorizando:

Es importante hacer notar que, en general, el resultado contendrá tanto a x como a y.

Ejercicio 2.
Encontrar la derivada de

Solución
Se trata de una función implícita, como se mencionó anteriormente podemos encontrar su derivada, despejando y y realizando laderivación con respecto a x.
Despejando y

una vez despejada y, podemos obtener su derivada
, realizando las operaciones para simplificar la expresión tenemos:
.
En caso de que sea posible despejar y, la derivación implícita es muy sencilla, sin embargo esto no siempre es posible.
Mejor respuesta - Elegida por la comunidad
Parábola: y² - 4x = 0 , punto: (1,2)

Derivamos implicitamenterespecto de "x" para hallar la pendiente de la recta tangente.
(y² - 4x) ' = (0) '
2y•y' - 4 = 0

Para hallar la pendiente "m" en el punto (1,2) osea y=2, reemplazamos:
2(2)•m - 4 = 0
4m = 4
m = 1

Por tanto, ecuación de recta tangente:
(y - 2)/(x - 1) = 1
y - 2 = x - 1
y = x + 1

La pendiente de la recta normal es - 1/m = - 1/1 = -1
Entonces, ecuación de recta normal:
(y - 2)/(x -1) = -1
y - 2 = -(x - 1)
y = -x + 3
Para abreviar reemplazamos en las formulas. m=1 , como es el punto (1,2) entonces y=2

Longitud de la tangente:
(y/m)√(1+m²) = (2/1)√(1+1²) = 2√(1+1) = 2√2

Longitud de la normal:
y√(1+m²) = 2√(1+1²) = 2√(1+1) = 2√2

Longitud de la subtangente:
y/m = 2/1 = 2

Longitud de la subnormal:
my = 1(2) = 2

4.TANGENTE A UNA CURVA.
Dada la función f(x,y) <1> y la recta, que es tangente a esa curva, y = mx + b despejamos y en la ecuación de la recta y la sustituimos en f(x, y), después de esto nos debe quedar una ecuación de segundo grado, la cual hay que resolver con la siguiente condición: sabemos que la ecuación de segundo grado tiene un discriminante, en nuestro caso le llamaremos y lo igualaremos a cero quedando de la forma  = 0 yle llamaremos "condición de tangencia".
En la expresión <1> hablamos de una función general en dos variables y nos referimos a funciones cuadráticas donde y = mx + b representa una familia de rectas y el sistema pretende determinar cuál de esas rectas es tangente.
Resolviendo nos queda una ecuación de segundo grado, como lo habíamos dicho con anterioridad, para la variable xy como estamosbuscando una única solución se deduce que el discriminante tiene que ser igual a cero, es decir, estamos hablando de la condición de tangencia.
De manera práctica se encuentran tres casos de tangentes a cónicas.
1. Se conoce el punto de contacto, aquí hay una sola tangente.
2. Se conoce la pendiente, aquí hay dos tangentes.
3. Se conoce un punto exterior por el cual pasa latangente, aquí hay dos tangentes.
Para hallar las ecuaciones de las tangentes se sustituye el dato conocido en la ecuación de la recta y se resuelve la aplicando la condición de tangencia, determinando así la ecuación de las rectas.
5.PARÁBOLA.
Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de talo manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempre...