Tarea

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Cinem´tica de fluidos a

4.3

Teorema del transporte de Reynolds. Enfoque diferencial

Apliquemos el teorema del transporte de Reynolds para estudiar la variaci´n de la densidad o ρ en un volumen de control infinitesimal, dV = dx dy dz; es decir, consideremos η = 1 y R = 0. Utilizando la notaci´n definida en el Cap´ o ıtulo 1, denotamos con e y w las caras cuyovector normal es ne/w = ±ˆ, respectivamente, con n y s las caras cuya normal es nn/s = ± , ˆ ı ˆ ˆ ˆ y t, b las caras con normal nt/b = ±k (ver Figura 4.9). ˆ
dx n (A) (B)

dz w y y x dy x t (C) (D) s b t/b e

z

w z

n/s

e

s z

e/w

n

x

b

y

t

Figura 4.9: Definici´n de volumen de control dV y notaci´n utilizada. o o

En este caso el teorema del transporte deReynolds se escribe como: ∂ ∂t ρ dx dy dz +
V S

ρv · n dS = 0 ˆ

(4.14)

sin embargo, dado que el volumen de control considerado es infinitesimal, el lado izquierdo de (4.14) se reduce a: ∂ ∂ρ ρ dx dy dz = dxdydz (4.15) ∂t V ∂t Por otro lado, el segundo t´rmino de (4.14) se puede descomponer en 6 integrales que dan e cuenta del flujo m´sico a trav´s de cada una de las caras del volumen decontrol, de manera a e
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que: ρv · n dS = ˆ
S Se

ρe ve · ne dSx + ˆ
Sw

ρw vw · nw dSx + integrales en caras n, s, t y b (4.16) ˆ

Es f´cil ver que: a ve · ne = ue ˆ y vw · nw = −uw ˆ (4.18) donde ue y uw son las componentes seg´ n x de la velocidad, evaluadas en lascaras e y w, u respectivamente. El signo negativo en uw viene dado por el signo de nw = −ˆ Por otro ˆ i. lado, si repetimos el mismo an´lisis para las otras 4 caras de dV , sabiendo que los elementos a dSx = dy dz, dSy = dx dz, y dSz = dx dy, y considerando que v y ρ son uniformes en las respectivas caras, dadas sus dimensiones infinitesimales, obtenemos que la integral del lado derecho de (4.16) es:ρv · dS = (ρe ue − ρw uw ) dy dz + (ρn vn − ρs vs ) dx dz + (ρt wt − ρb wb ) dx dy
S

(4.17)

(4.19)

Si ahora llamamos uw = u, ρw = ρ, y hacemos una expansi´n en serie de Taylor en torno o a w, truncando al primer orden, se tiene: ∂(ρ u) ∂(ρ u) |w dx + · · · = ρ u + dx + . . . (4.20) ∂x ∂x y, si repetimos este procedimiento en las otras dos direcciones y reemplazamos en (4.14), entoncesobtenemos la ecuaci´n de conservaci´n de la masa seg´ n el enfoque diferencial: o o u ρe ue = ρw uw + ∂ρ ∂(ρ u) ∂(ρ v) ∂(ρ w) + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z o bien: (4.21)

∂ρ Dρ + ∇ · (ρ v) = + ρ (∇ · v) = 0 (4.22) ∂t Dt considerando la definici´n de derivada material dada anteriormente. La ecuaci´n (4.21) es o o conocida tambi´n como la ecuaci´n de continuidad de masa. e o

Una manera alternativa deobtener esta ecuaci´n es aplicando el teorema de la divergeno cia, el que expresa que: ρ v · n dS = ˆ
S V

∇ · (ρ v) dV

(4.23)

y como V no depende del tiempo, la derivada temporal de la integral sobre V en (4.14), la podemos expresar, aplicando la integraci´n de Leibnitz, como la integral de la derivada o temporal, tal que (4.14) queda: ∂ρ + ∇ · (ρ v) ∂t dV = 0 (4.24)
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V

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que indica que el t´rmino dentro de la integral es una constante, la que no puede ser otra e que igual a 0. Consideremos el caso particular de un fluido incompresible, el que hemos visto que se caracteriza por que su densidad es constante, de manera que la ecuaci´n de continuidad de o masa(4.21) se reduce a la ecuaci´n de continuidad o conservaci´n de volumen: o o ∂u ∂v ∂w ∇·v = + + =0 (4.25) ∂x ∂y ∂z Cuando el vector velocidad cumple con esta propiedad se dice que es solenoidal. Finalmente, si realizamos el mismo an´lisis para una propiedad gen´rica, N, tal que: a e N=
V

ρ η dV

(4.26)

se obtiene que: ∂(ρ η) + ∇ · (ρ η v) = Rv (4.27) ∂t donde Rv es una tasa de reacci´n...