Tarea

4

TEMA 3: FUNCIONES DIFERENCIABLES

Esto lo podemos apreciar mejor en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.7. Sea A = {(x, y) ∈ R2 : y = 0}. Claramente, A no es un abierto de R2 . Considere la
aplicaciónf : A → R definida por f (x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ A. Evidentemente, (0, 0) ∈ A ∩ A .
Dado λ ∈ R, sea Tλ : R2 → R la aplicación dada por Tλ (x, y) = λy para todo (x, y) ∈ R2 . Claramente,
Tλ eslineal y para todo (x, y) ∈ A \ {(0, 0)} se tiene que
|f (x, y) − f (0, 0) − Tλ (x, y)|
0
=
= 0,
(x, y)
(x, y)
de donde
l´ım
(x,y)→(0,0)

|f (x, y) − f (0, 0) − Tλ (x, y)|
= 0.
(x, y)

Por tanto, f esdiferenciable en (0, 0), pero la diferencial de f en (0, 0) no es única ya que cualquier
aplicación lineal Tλ verifica la definición de diferenciabilidad de f en (0, 0).
Definición 1.8. Sea A unsubconjunto abierto no vacío de RN y f : A → RM una aplicación. Si B
es un subconjunto abierto no vacío de A, se dice que f es diferenciable en B si f es diferenciable en
todo punto de B. Si f esdiferenciable en A, entonces se dice simplemente que f es diferenciable.
Ejemplos 1.9.
(1) Sea A un subconjunto abierto no vacío de RN , b ∈ RM y f : A → RM la función
constante definida por f (x) = b paratodo x ∈ A. Entonces f es diferenciable en A y la diferencial Df (a) de f en cualquier punto a ∈ A es la aplicación idénticamente nula T : RN → RM ,
T (x) = 0, ∀x ∈ RN , pues para todo x ∈ A con x = a severifica:
f (x) − f (a) − T (x − a)
b−b−0
0
=
=
= 0.
x−a
x−a
x−a
(2) Una aplicación lineal f : RN → RM es diferenciable y la diferencial Df (a) de f en cualquier
punto a ∈ RN es f, pues para todo x ∈RN con x = a se verifica:
0
f (x) − f (a) − f (x − a)
=
= 0.
x−a
x−a
El siguiente resultado establece la relación existente entre la diferenciabilidad de una función vectorial
y la diferenciabilidadde sus funciones componentes.
Proposición 1.10. Sea A un subconjunto abierto de RN , a ∈ A y f = (f1 , . . . , fM ) una aplicación
de A en RM . Entonces f es diferenciable en el punto a si, y sólo...