Tarea1

Tarea # 2 Grupo
Demostración de grupos

I.- Dado el conjunto A = {°, *, +, ~} y un operación # encuentre la tabla que determine la operación para que (A, #) se un grupo.

# | ° | * | + | ~ |
° | ~ | ° | * | + |
* | ° | * | + | ~ |
+ | * | + | ~ | ° |
~ | + | ~ | ° | * |

II.- Dado el conjunto B = {5, 8, 3, 1} y un operación $ encuentre la tabla que determina laoperación para que (B, $) se un grupo.

$ | 5 | 8 | 3 | 1 |
5 | 8 | 3 | 1 | 5 |
8 | 3 | 1 | 5 | 8 |
3 | 1 | 5 | 8 | 3 |
1 | 5 | 8 | 3 | 1 |

III.- Determine cuáles de los siguientes conjuntos forman un grupo bajo las operaciones indicadas. Si no son grupos indique cuáles o cuáles propiedades no se cumplen y el por qué.
a) S = { (x, y, z) ∈ ℜ3 | y = 0}, con la suma usual de ℜ3Sean a=(x1,0,z1)
b=(x2,0,z2)
c=(x3,0,z3)

P.D. S es un grupo bajo la suma

i) P.D. cerradura
∀a,b∈G,a+b∈G
a+b=(x1,0,z1)+(x2,0,z2) Sustitución de variables
a+b=x1+x2,0+0,z1+z2 Definición de suma en R3
a+b=x1+x2,0,z1+z2∈G Simplificación en R
⇒ La suma en S es cerrada

ii) P.D. asociatividad
∀a,b,c∈G,a+b+c=a+b+c
a+b+c=(x1,0,z1)+[(x2,0,z2)+(x3,0,z3)] Sustitución de variablesa+b+c=(x1,0,z1)+[x2+x3,0+0,z2+z3] Definición de suma en R3
a+b+c=[x1+x2+x3,0+0+0,z1+z2+z3] Definición de suma en R3
a+b+c=[x1+x2+x3,0+0+0,z1+z2+z3] Propiedad asociativa en R
a+b+c=x1+x2,0+0,z1+z2+(x3,0,z3) Definición de suma en R3
a+b+c=[(x1,0,z1)+(x2,0,z2)]+(x3,0,z3) Definición de suma en R3
a+b+c=a+b+c Sustitución de variables
⇒ La suma en S es asociativa

iii) P.D.conmutatividad
∀a,b∈G,a+b=b+a
a+b=(x1,0,z1)+(x2,0,z2) Sustitución de variables
a+b=(x1+x2,0+0,z1+z2) Definición de suma en R3
a+b=(x2+x1,0+0,z2+z1) Propiedad conmutativa en R
a+b=(x2,0,z2)+(x1,0,z1) Definición de suma en R3
a+b=b+a Sustitución de variables
⇒ La suma en S es conmutativa

iv) P.D. Elemento neutro
∃!e∈G|∀a∈G,a+e=e+a=a
Sea e=0=0,0,0
a+e=(x1,0,z1)+0,0,0 Sustitución devariables
a+e=x1+0,0+0,z1+0 Definición de suma en R3
a+e=(x1,0,z1) Simplificación en R
a+e=a Sustitución de variables
⇒ El elemento neutro bajo la suma en S existe

v) P.D. Elemento inverso
∃!a-1∈G|∀a∈G,a+a-1=a-1+a=e
Sea a-1=(-x1,0,-z1)
a+a-1=(x1,0,z1)+(-x1,0,-z1) Sustitución de variables
a+a-1=[x1+(-x1),0+0,z1+(-z1)] Definición de suma en R3
a+a-1=0,0,0 Simplificación en Ra+a-1=e Sustitución de variables
⇒ El elemento inverso bajo la suma en S existe

∴S es un grupo

b) S = { (x, y, z) ∈ ℜ3 | x + z ≤ 0}, con la suma usual de ℜ3

Sea a=(1,y1,-2)

P.D. S es un grupo bajo la suma

i) P.D. Elemento inverso
∃!a-1∈G|∀a∈G,a+a-1=a-1+a=e
Sea a-1=(-1,-y1,2)∉G
⇒ El elemento inverso bajo la suma en S no existe

∴S no es un grupo

c) S ={p(x) ∈ P3 | p(x) = x3 + ax + b, a, b ∈ ℜ }, con la suma usual de P3

Sean fx=x3+a1x+b1
gx=x3+a2x+b2

P.D. S es un grupo bajo la suma

i) P.D. cerradura
∀a,b∈G,a+b∈G
f+gx=fx+gx=(x3+a1x+b1)+(x3+a2x+b2) Sustitución de variables
f+gx=[1+1x3+a1+a2x+(b1+b2)] Definición de suma en P3
f+gx=[2x3+a1+a2x+b1+b2]∉G Simplificación en R
⇒ La suma en P3 no es cerrada

∴S no es un grupod) S = { (x, y) ∈ ℜ2 | 2x - y = 0}, con la suma usual en ℜ2
y=2x

Sean a=(x,2x)
b=(y,2y)
c=(z,2z)

P.D. S es un grupo bajo la suma

i) P.D. cerradura
∀a,b∈G,a+b∈G
a+b=(x,2x)+(y,2y) Sustitución de variables
a+b=x+y,2x+2y Definición de suma en R2
a+b=[x+y,2x+y]∈G Simplificación en R
⇒ La suma en S es cerrada

ii) P.D. asociatividad
∀a,b,c∈G,a+b+c=a+b+ca+b+c=(x,2x)+[(y,2y)+(z,2z)] Sustitución de variables
a+b+c=(x,2x)+(y+z,2y+2z) Definición de suma en R2
a+b+c=[x+y+z,2x+2y+2z] Definición de suma en R2
a+b+c=[x+y+z,(2x+2y)+2z] Propiedad asociativa en R
a+b+c=x+y,2x+2y+(z,2z) Definición de suma en R2
a+b+c=[(x,2x)+(y,2y)]+(z,2z) Definición de suma en R2
a+b+c=a+b+c Sustitución de variables
⇒ La suma en S es asociativa

iii) P.D....