Tarea1

Medida Tarea 1
David Cardozo
29 de enero de 2016
Problema 1.
Sean K y Y espacios métricos con K compacto. Muestre que toda
función continua f : K → Y es uniformemente continua.1

1

Prueba. Considereentonces f : K → Y una función continua en
donde K es un espacio métrico compacto,2 y Y es un espacio métrico.
Suponga en orden de contradicción, que la función en cuestión no es
uniformementecontinua, es decir, existe un ϵ positivo para el cual,
ningún δ realiza que sus imágenes estén ϵ−cerca, en particular existen
puntos zn , wn en K que cumplen con
∥zn − wn ∥K ≤

1
n

y

∥f (zn ) − f (wn )∥Y> ϵ

Observemos que podemos construir una sucesión de puntos en K,
{zn }n y {wn }n , utilizemos entonces la hipótesis que K es secuencialmente compacto, y de estas dos sucesiones podemos obtener dossubsecuencias convergentes, es decir, {znk }nk ∈N y {wnk }nk ∈N , podemos
encontrar una relación entre estas dos secuencias dado que
∥znk − wnk ∥K ≤

1
1
<
nk
n

(1)

Definamos znk → z y wnk → w ytomando el limite nk → ∞ en (1),
concluimos que z = w.
Ahora, vemos por continuidad que
lim f (znk ) = f (z) = lim f (wnk ) = f (w)

nk →∞

nk →∞

Y por construcción tenemos que
∥f (znk ) − f (wnk )∥ > ϵy en el límite
∥f (z) − f (w)∥ ≥ ϵ
Lo cual es una contradicción.

Utilize la caracterización de los
espacios compactos como los espacios
en los que toda sucesión tiene un
punto de acumulación.
2
Enparticular también es secuencialmente compacto

medida tarea 1

Problema 2.
Determine si la siguiente función f : [0, 1] → R es integrable según
Riemann

 1 si x = p coprimos
q
f (x) = q
0 en otrocaso.
Prueba. Observamos que los números irracionales son densos. Entonces para cualquíer partición P = {x0 , . . . , xn } siempre existe un
irracional en cualquier intervalo [xi−1 , xi ], por tantoL(f, P ) = 0. Ahora para observar que f es integrable, mostraremos que podemos hacer
U (f, P ) tan pequeña como es deseado.
{
}
Sea Dn = x : f (x) ≥ n1 . Si x ∈ Dn , tenemos entonces que x = ji
para...