tarea3 1

Universidad Austral de Chile
´ stica y Vibracio
´n
Master en Acu
´ stica
Asignatura: Vibroacu

Tarea (III)
Vibraci´
on en Placas.

Jose Luis Casta˜
no Bernal.
Carlos Andr´es Ramos R.
24 de octubre de 2014

II Sem. 2014

1. Considere una placa met´
alica rectangular de dimensiones S = 60 × 40 cm, simplemente
soportada en sus cuatro lados. El espesor de la placa es h = 5 mm. La placa es excitadapor una fuerza puntual arm´
onica de amplitud F0 = 10 × S N m2 , la cual es suministrada
por un shaker electrodin´
amico. La placa tiene un factor de p´
erdidas por amortiguamiento
igual a η = 0, 01. Realice los siguientes experimentos num´
ericos:
a) Realice un programa en Matlab que calcule las frecuencias naturales de una placa rectangular. Pruebe su programa considerando que la placa anteriores fabricada de aluminio
y calcule las primeras 15 frecuencias naturales, indicando el valor de (m, n) y fmn . Repita
para una placa fabricada de acero. Comente sus resultados.
b) Considere nuevamente que la placa est´
a hecha de aluminio. Mediante un programa
en Matlab, determine la receptancia cuando se mide el desplazamiento en un punto muy
cercano a una esquina de la placa y se excita cerca dela esquina opuesta. Dibuje la receptancia (m´
odulo), como funci´
on de la frecuencia de excitaci´
on, para visualizar la respuesta
de unos quince modos de vibraci´
on. En la simulaci´
on, considere la suma modal de, a lo
menos, 100 modos. En el mismo gr´
afico, dibuje la contribuci´
on aislada del primer modo
de vibraci´
on.
c) Repita el ejercicio anterior, pero ahora cambie la posici´
on de lafuerza al centro de la
placa. Comente sus resultados.
d) Realice un programa en Matlab, para determinar la funci´
on n´
umero de modos, como
funci´
on de la frecuencia angular. Pruebe su programa usando la placa de aluminio, con
las dimensiones consideradas aqu´ı, y trace la funci´
on N (ω).
e) Utilice una funci´
on de aproximaci´
on, para expresar N (ω) por alguna f´
ormula. Derive y
obtenga ladensidad modal de la placa n(ω) y compare con la teor´ıa.
f ) Mediante el diagrama del espacio n´
umero de onda (kx , ky , kz ), demuestre que la densidad
modal de una sala, con forma de paralelep´ıpedo, y de paredes reflectantes, se puede
aproximar por:
n(ω) =

ω2 V
2π 2 c3

donde V es el volumen de la sala y c es la velocidad del sonido. ¿Qu´
e diferencias observa
con la densidad modal de unaplaca?

2

II Sem. 2014

Con el fin de encontrar las frecuencias de oscilaci´on para cada modo, se us´o la ecuaci´on definida por:

f(m,n) =

1
2π

D
ρs

mπ
a

2

+

nπ
b

2

con D =

Eh3
12(1 − ν 2 )

(1)

Siendo m, n los modos de oscilaci´
on, ρs la densidad superficial, E el m´odulo de Young, h el espesor de
la placa y ν el m´
odulo de Poisson.
fm,n [Hz]
1
2
3
4

1
445,035
855,837
1540,51
2499,042
1369,34
1780,14
2464,81
3423,35

3
2909,85
3320,65
4005,32
4963,86

4
5066,56
5477,36
6162,03
7120,57

Tabla 1: Frecuencias para la placa de aluminio con m=4 y n=4

Las tablas (1) y (2) presentan los resultados de las frecuencias para 16 modos de oscilaci´on para la
placa de aluminio y acero respectivamente al aplicar la ecuaci´on (??) con las dimensiones se˜
naladas por
el ejercicio. Para cadatabla, las filas presentan los cambios en m y las columnas los cambios en n.
f(m,n) [Hz]
1
2
3
4

1
110,279
212,076
381,737
619,261

2
339,321
441,118
610,778
848,303

3
721,058
822,854
992,515
1230,04

4
1255,49
1357,29
1526,95
1764,47

Tabla 2: Frecuencias para la placa de acero con m=4 y n=4

Hay que tener presente que las ondas viajeras en las placas en materiales isotr´opicos son siempremodos
puros en el sentido que la velocidad de las part´ıculas son siempre paralelas o perpendiculares a la
velocidad de propagaci´
on de la onda [5].
Con base en lo anterior, claramente las frecuencias modales en la placa de aluminio son mayores que
en la placa de acero. Esto es debido a la fuerte dependencia de la propagaci´on de la ondas mec´
anicas
por su propiedad el´
astica (definidas por E y...