TAREAS DE NIVEL UNIVERSITARIO

SIGMA
28

APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
A LA NORMAL, LA CALCULADORA Y LAS TIC
Abel Martín (*) y Rosana Álvarez García (**)
En dos artículos anteriores ya hemos estudiado la distribución Binomial de
parámetros B(n, p) y la distribución Normal de parámetros N(,).
Cuando “n” es grande, la distribución Binomial resulta laboriosa y complicada, por lo que el matemático Abraham deMoivre (1667-1754) demostró que cuando se dan ciertas condiciones una distribución Binomial se
puede aproximar a una distribución Normal de media  = n·p y desviación típica:  =

Si estudiamos la gráfica de varias distribuciones binomiales vemos que, a medida que aumenta
el parámetro “n” (tamaño muestral), su gráfica se asemeja cada vez más a la gráfica de una
distribución normal. Así:
BB

(*)

B

→ N(3.33, 1.49)

B

→ N(16.66, 3.33)

Profesor de Matemáticas del IES Pérez de Ayala (Oviedo - Asturias).

(**) Profesora de Tecnología del IES Cangas del Narcea (Asturias).

Mayo 2006 • 2006ko Maiatza

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Abel Martín y Rosana Álvarez García

B

B

→ N(33.3, 4.71)

Una diferencia entre los gráficos de la normal y de la Binomial es que la distribuciónBinomial
se va desplazando hacia la derecha a medida que aumenta el tamaño muestral. Para evitar
esta desviación se realiza el ajuste entre ambas distribuciones restando a la variable la media
y dividiendo por la desviación típica de la distribución Binomial con la que se trabaja.
X=
La bondad de la aproximación es tanto mejor cuanto mayor sea n y cuanto más próximo esté
p de 0.5. Estaaproximación está especialmente indicada cuando n es mayor que 30, aunque
como las tablas de distribución Binomial suelen ofrecer sus valores para distribuciones para
tamaños muestrales n = 10, la aproximación comienza a realizarse para tamaños muestrales
de n > 10. En la actualidad, cualquier tipo de calculadora, por muy básica que sea, nos permite calcular probabilidades de la distribución Binomial quehasta ahora precisaban cálculos
muy repetitivos y tediosos.
Si n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5, la aproximación realizada es buena y nos permite calcular probabilidades con facilidad.
A continuación vamos a describir una nueva forma de afrontar estos problemas, suponiendo
que el alumno tiene una calculadora gráfica como herramienta habitual (en nuestro caso utilizamos la CFX 9850 GB PLUS, la FX 9860G deCASIO y la CLASSPAD 300), como ya ocurre en
las “aulas” de la casi totalidad de los países “desarrollados”, incluidas gran parte de nuestras
Comunidades Autónomas. El uso de la calculadora gráfica nos permite comprobar ágilmente y
de forma visual, aquello que estamos buscando, con un enfoque más investigador e innovador,
dando prioridad al razonamiento, permitiéndonos más tiempo para pensar yanalizar tanto lo
que hacemos como los resultados que obtenemos, así como poder observar la procedencia de
determinadas fórmulas utilizadas con asiduidad.
Hay que tener en cuenta que en esta aproximación pasamos de una distribución para una
variable aleatoria discreta a una distribución para una variable aleatoria continua. En las variables aleatorias continuas la probabilidad de que la variabletome un valor concreto es cero,
mientras que en las variables discretas no. Para poder realizar cálculos de valores de la variable
concretos debemos realizar una corrección de continuidad.
P(X = k) = P(k – 0.5 < X < k + 0.5)=
= P(X < k + 0.5 ) - P(X < k - 0.5)

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SIGMA Nº 28 • SIGMA 28 zk.

Aproximación de la distribución binomial a la normal, la calculadora y las tic

MODELO DEACTIVIDAD (I)
Se lanza un dado 360 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3 menos de 55 veces?
Encuadrando el problema
La variable en estudio es una variable aleatoria discreta definida como:
X  "número de veces que obtenemos un 3, de entre 360 lanzamientos del dado".
Esta distribución se ajusta a una distribución binomial, definida por los parámetros:
n = 360

Éxito
n·p = 60 > 5...