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FUNCIONES CONTINUAS.

La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad.
La continuidad de una función definida en un intervalo significa que pequeñas variaciones en el original x ocasionan pequeñas variaciones en la imagen y y no un salto brusco de su valor.
Intuitivamente esto significa unavariación suave de la función sin saltos bruscos que rompan la gráfica de la misma.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO.

Una función es continua en un punto x = a si existe límite de la función en él y coincide con el valor que toma la función en dicho punto, es decir:

La continuidad de una función f en el punto x = a implica que se cumplan las tres condiciones siguientes:

1.Existe el límite de la función f(x) en x = a.
2. La función está definida en x = a; es decir, existe f(a)
3. Los dos valores anteriores coinciden.

Por tanto, una función puede dejar de ser continua en un punto por no cumplir alguna de estas tres condiciones. En este caso (si no se cumple alguna de las condiciones) diremos que la función es discontinua en dicho punto. En caso de que no secumpla la segunda condición, la función no estaría definida en el punto x = a y no podríamos hablar ni de continuidad ni discontinuidad en dicho punto.



Ejemplos:
0 La función ¿es continua en el punto x = 3?

Veamos si se cumplen las tres condiciones anteriores:
1.
2.
3.
Por tanto, f(x) es continua en el punto x = 3.

1 Dada la función , estudiar lacontinuidad de dicha función en x = 1.

Veamos si se cumplen las condiciones necesarias:
1.
2. no existe, pues se anula el denominador.
3. El no son iguales porque f(1) no existe y, en consecuencia, no se pueden comparar.

Por tanto, al no estar definida la función en el punto x = 1 no podemos hablar de la continuidad en dicho punto.

2 Dada la función , estudiarla continuidad de dicha función en x = 1
Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores:
1. Estudiamos la existencia del
Como en el punto x = 1 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por tanto:

En consecuencia, existe pues los límites lateralesson iguales.
2. f (1) = 2
3.
Luego la función es discontinua en el punto x = 1.
3 Dada la función , estudiar la continuidad de dicha función en x = 2.

Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores:
1. Estudiamos la existencia del
Como en el punto x = 2 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia de dicho límite,tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por tanto:

En consecuencia, no existe pues los límites laterales son distintos.
2. f (2) = 5

Luego la función es discontinua en el punto x = 2.

Si tenemos en cuenta la definición métrica de límite podemos escribir:

CONTINUIDAD LATERAL.

Si nos restringimos a los valores que la función toma a la derecha o ala izquierda del punto x = a, se habla entonces de continuidad lateral a la derecha o a la izquierda del punto a.

Continuidad a la izquierda:

La función f (x) es continua a la izquierda en el punto x = a cuando el límite a la izquierda en dicho punto coincide con el valor que toma la función en el mismo.

Continuidad a la derecha:

La función f (x) es continua a la derecha en elpunto x = a cuando el límite a la derecha en dicho punto coincide con el valor que toma la función en el mismo.

Es evidente que si una función es continua por la derecha y por la izquierda en un punto, entonces es continua en dicho punto.

EJEMPLOS.

* Estudiar la continuidad de la función (función parte entera de un número) en cualquier punto de abscisa entera.

Si tenemos en...