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Apuntes de Matemáticas II 23/03/2004

MATEMÁTICAS II Diplomatura en Ciencias Empresariales. Facultad de Ciencias Empresariales. Ourense Curso 2003-2004 El curso consta de tres capítulos y es una continuación del curso de Matemáticas I que el alumno tuvo que cursar durante el primer cuatrimestre. Por lo tanto, se entiende que dicho alumno ha tratado los temas de álgebra lineal, cálculo en unavariable y cálculo en varias variables. En este segundo cuatrimestre, el alumno analizará las técnicas de estática comparativa, el cálculo integral y la teoría de la optimización. Los contenidos de este curso se imparten durante un cuatrimestre en dos horas de teoría semanales y 1 hora de prácticas. Tema 1. Aplicación de las derivadas parciales en economía Tema 2. Integración Tema 3. Optimización envarias variables Tema 1. Aplicación de las derivadas parciales en economía 1.1 Derivadas de funciones definidas implícitamente 1.2 Elasticidades parciales 1.3 Funciones homogéneas 1.4 Aproximación de funciones En este tema nos interesa sobre todo estudiar cómo las variables económicas reaccionan a cambios en los parámetros que intervienen en la definición de dichas variables. Este tipo deanálisis se conoce en economía como estudios de estática comparativa. La finalidad de la sección 1.1 es calcular la derivada de una función definida implícitamente por una ecuación. En la sección 1.2 estudiamos el concepto de elasticidad para funciones con varias variables, concepto que ya hemos introducido para funciones de una variable. En la sección 1.3 analizamos las funciones homogéneas yconsideraremos algunos ejemplos típicos como la relación entre funciones homogéneas y rendimientos a escala. Finalmente, en la sección 1.4 estudiamos cómo podemos aproximar una función dada por otra función mucho más sencilla de analizar. A continuación se presenta un resumen de los contenidos teóricos de este tema. 1.1 Derivadas de funciones definidas implícitamente Sea F una función de dos variables yconsideremos la ecuación F ( x, y ) = 0 . Supongamos que esta ecuación define a y como una función y = f ( x ) de x en cierto intervalo I . Entonces, F ( x, f ( x ) ) = 0 para todo x ∈ I .

Si f es derivable, ¿cuál es la derivada de y = f ( x ) ?
Fx' ( x, f ( x ) ) dy =− ' dx Fy ( x, f ( x ) )

( F ( x, f ( x ) ) ≠ 0 ) .
' y

Gráficamente,
y

y’(x) F(x,y)=c x

El concepto de derivaciónimplícita también se puede generalizar a funciones con n variables.

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Apuntes de Matemáticas II 23/03/2004

1.2 Elasticidades parciales

Sea z = f ( x1 , x2 ,..., xn ) . La elasticidad parcial de z (ó de f ) con respecto de xi se define como
Eli z =
∂z xi · . ∂xi z

Interpretación. El número Eli z es aproximadamente igual a la variación porcentual de z producida por un

aumento del1% en xi , mientras las otras x j
1.3 Funciones homogéneas

( j ≠ i)

permanecen constantes.

Una función f de dos variables x e y definida en un dominio D es homogénea de grado k si para todo

( x, y ) ∈ D , f ( tx, ty ) = t k f ( x, y )

para todo t > 0 .

La constante k puede ser cualquier número: positivo, cero o negativo.
Teorema de Euler. f ( x, y ) es homogénea de grado k ⇔ x∂f ∂f +y = kf ( x, y ) . ∂x ∂y

Todas las definiciones anteriores son fácilmente generalizables a funciones con más de 2 variables.
1.4 Aproximación de funciones

Sea f ( x ) derivable en x = a . La ecuación de la recta tangente a la gráfica en ( a, f ( a ) ) es
y = f ( a ) + f ' ( a )( x − a ) . La aproximación lineal de f ( x ) en un entorno de a es f ( x ) ≈ f ( a ) + f ' ( a )( x − a )para x próximo a a .
2

1.5

1

0.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Aprox. lineal de f ( x ) = 1 + x en x = 0 .

Sea f ( x, y ) una función de dos variables con derivadas parciales en ( x, y ) = ( a, b ) . La aproximación lineal a
f ( x, y ) en un entorno de ( a, b ) es f ( x, y ) ≈ f ( a, b ) +

∂f ∂f ( a, b )( x − a ) + ( a, b )( y − b ) para ( x, y ) próximo a ∂x ∂y

(...