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UNIDAD 5. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.

Los eventos de mayor interés para el científico, el ingeniero o el hombre de negocios se identifican mediante números y reciben el nombre de eventos numéricos. Al mercadólogo, por ejemplo, le interesará el evento que consiste en que 10 de los consumidores adquieran el producto que están promoviendo. Como X es la variable que se va a medir en unexperimento y su valor cambiará dependiendo del resultado del experimento, recibe el nombre de variable aleatoria, es decir, una variable aleatoria (VA) es una función de valores reales cuyo dominio es un espacio muestral S.

Ejemplo 1: Para el experimento de lanzar dos monedas al aire y observar los resultados, la variable aleatoria X es igual al número de águilas que se obtienen, entonces:
a)Identifica los puntos muestrales en S.
b) Asigna un valor de X a cada punto muestral.
c) Identifica los puntos muestrales asociados a cada valor de la variable aleatoria X.

a) si representamos las águilas como A y los soles como L, entonces los cuatro puntos muestrales en S son:
E1: AA, E2: AL, E3: LA y E4: LL.
b) los valores de X asignados a los puntos muestrales dependen delnúmero de águilas asociado con cada punto, por ejemplo, para E1: AA se observaron 2 águilas y a E1 se le asignó el valor de X=2, por lo cual asignamos los valores de X=1 a E2 y E3, y X=0 a E4.
c) la variable aleatoria X puede tomar 3 valores, X=0,1,2 que son eventos definidos por los puntos muestrales: {X=0}={E4}, {X=1}={E2,E3} y {X=2}={E1}

Sea x uno de los valores observados de la variablealeatoria X. Así, P(X=x) es la suma de las probabilidades de los puntos muestrales a los que se les asigna el valor x.

Ejemplo 2: Calcula las probabilidades de cada valor de X en el ejemplo anterior.

El evento {X=0} es resultado del punto muestral E4 exclusivamente. Si las monedas son “perfectas” (o sea que no están cargadas, que son simétricas), los puntos muestrales tienen las mismasprobabilidades, entonces, P(X=0) = P(E4) = 1/4
Asimismo, P(X=1)=P(E2)+P(E3)=1/4+1/4= 2/4 = 1/2 P(X=2)=P(E1)= 1/4.

Una variable aleatoria X se denomina discreta si puede adoptar sólo una cantidad finita o infinita contable de valores distintos. Por otro lado, si la VA puede adoptar cualquier valor real comprendido dentro de un intervalo, se dice que la variable aleatoria es continua.Ejemplo 3: Para las siguientes VA determina si son discretas (VAD) o continuas (VAC):
1) Número de hijos en una familia VAD 2) Peso VAC 3) Edad (años) VAD
4) Cantidad de dinero VAD 5) Calor VAC 6) Distancia VAC

Una función f(x) es llamada función de probabilidad de una VA discreta X si y solo si sus valores cumplen:
1.- 0≤f(x)≤1 lo anterior para cualquier valor de x dondeademás
2.- f(x)=1 f(x) = P(X=x)
La distribución de probabilidad de una VA discreta se puede representar mediante una tabla, una gráfica o una fórmula.

El recorrido Rx de una VA discreta representa el conjunto de valores que toma la VA.

Ejemplo 4: En una urna hay 4 cartas numeradas: 1, 2, 3 y 4. Se extraen 2 a la vez. Determina la distribución de probabilidad para: X: Elmayor de los números que se extrae.
Y: La suma de los números que se extraen.

Para determinar la distribución de probabilidad es necesario primeramente, determinar el espacio muestral S, esto es, cuales son las posibles combinaciones S= { (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) }

Después, hay que determinar el recorrido de cada una de las VA, por ejemplo para la VA X (el mayor de losnúmeros que se extrae) observamos cada punto muestral y tenemos que Rx={2,3,4} y para la VA Y RY={3,4,5,6,7}

Ahora sí, la distribución de probabilidad de X será:
x | 2 | 3 | 4 |
f(x) | f(2)=1/6 | f(3)=2/6 = 1/3 | f(4)=3/6 = 1/2 |
Fíjate que en los valores de x se ponen los datos del recorrido
y en f(x) se escribe la probabilidad de obtener esos eventos.

y | 3 | 4 | 5 | 6 | 7...