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TEOREMA DE BAYES
Hacemos énfasis en que, aunque los símbolos P(A|B) y P(B|A) pueden ser parecidos, hay una gran diferencia en las probabilidades que representan. Por ejemplo: calculamos la probabilidad P(T|C) de que los niños lleguen temprano a la escuela, dado de que viven cerca. Pero, ¿a qué nos referimos cuando escribimos P(C|T)? Esta probabilidad se refiere a que los viven cerca, dado quellegan temprano. Como se ve, las condiciones son diferentes en una, es que viven cerca, en la otra es que lleguen temprano. En otro ejemplo supongamos que B es el evento de que una persona comete un asalto y G el evento de que se le ha encontrado culpable del crimen. La P(G|B) es la probabilidad de que la persona que cometió el asalto se le encuentra culpable del crimen; y P(B|G) es la probabilidadde que la persona que se le encuentra culpable del asalto, en realidad lo haya cometido. En ambos ejemplos, se han invertido las situaciones, la causa se convirtió en efecto y el efecto en causa.
Hay muchos problemas en estadística que se refieren a pares de probabilidades condicionales similares. Para este tipo de eventos, encontremos una fórmula que exprese P(B|B) en términos de P(A|B) para doseventos A y B cualesquiera que sean. Para logar esto, balanceamos las expresiones para P(A B) en las dos formas de la regla de multiplicación general: P(A) x P(B|A) = P(B) x P(A|B) y por lo tanto, operando se tiene: P(B|A) = después de dividir por P(A).
Ejemplo 1:
El Departamento de Tránsito debe hacer pruebas de emisión de contaminantes a los automóviles: 30 % de todos los automóviles emitencantidades excesivas de contaminantes. Cuando se prueban, el 99 % de todos los autos que emiten cantidades excesivas de contaminantes no pasará, pero el 15 % de los automóviles que no emiten cantidades excesivas de contaminantes, tampoco pasará. ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que no pasa la prueba, en realidad emita cantidades excesivas de contaminantes?
R/. Sea A el evento de que unautomóvil no pasa la prueba y B el evento de que emite cantidades excesivas de contaminantes.
Convirtamos los porcentajes de referencia en probabilidades: P(B) = 0.30 ; P(A|B) = 0.99 y P(A|B’) = 0.15
Para calcular P(B|A) debemos de determinar P(A). Para facilitar el encuentro de P(A) elaboremos un diagrama:
B P(A|B) = 0.99 A P(B) x P(A|B) = 0.30 x .099 = 0.297
P(B)=0.30
P(B’) = 0.70 B’P(A|B’) = 0.15 A P(B) x P(A|B’) = 090 x 0.15 = 0.105
Ya que los resultados de las dos ramas del diagrama son mutuamente excluyentes, tenemos que la P(A)=0.297 + 0.105 = 0.402. Y en consecuencia, sustituyendo en la fórmula P(B|A) = , se tiene:
P(A|B) = = = 0.74 0.74 es la probabilidad de que un automóvil que no pasa la prueba, en realidad emite cantidades excesivas de contaminantes.
NOTA: Un diagramaque puede ayudarnos a establecer las probabilidades por el Teorema de Bayes es el siguiente:
B1 P(A|B1) A P(B1)P(A|B1)
P(B)
P(B2) B2 P(A|B2) A P(B2)P(A|B2)
P(Bk) Bk P)A |Bk) A P(Bk)P(A|Bk)
El diagrama nos lleva al siguiente:
Teorema de Bayes: Si B1, B2 ……. Bk son eventos mutuamente excluyentes de los cuales debe ocurrir uno, entonces:
P(Bi|A) =
Nótese que la expresión del denominador, es enrealidad equivalente a P(A)
Ejemplo 2:
Una urna amarilla contiene 3 bolas negras y 4 blancas, y una urna roja contiene 2 bolas blancas y 2 negras. Se tira un dado, con la condición de que si el número resultante es divisible por 3 se elige la urna amarilla y en cualquier otro caso, se elige la urna roja. De la urna elegida se saca una bola al azar. Si la bola es negra, ¿cuál es la probabilidadde que haya sido sacada de la urna amarilla?
Para encontrar la respuesta, nos ayudaremos de un diagrama de árbol:
Al tirar el dado, si cae 3 ó 6 que son los números divisibles por 3 se escoge la urna amarilla, la P(A) = 2/6 = 1/3. La probabilidad de que se escoja la urna roja es 4/6 0 2/3
N P(A) P(N|A) = 1/3 x 3/4 = 3/12 = ¼ = 0.25
3/4
A
1/3 1/4 B P(A) P(B|A) = 1/3 x ¼ = 1/12 = 0.083...