tareas

MAT 115 - C´lculo 2
a
Control N◦ 1
Viernes 22 de Marzo, 2013.

1. Calcule

dx
e−x + 2

Soluci´n
o
Realizando la sustituci´n
o
u = 2 + e−x se tiene du = −e−x dx. Como e−x = u − 2 setiene que dx = −
dx
=
+2

e−x

−

du
u(u − 2)

Como
−

1
−1/2 1/2
=
+
u(u − 2)
u−2
u

dx
=
+2

e−x

du
u(u − 2)
1
du 1
du
=
−
2
u
2
u−2
1
1
= ln |u| − ln |u − 2|+ C
2
2
1
x
= ln(2 + e−x ) + + C
2
2

Criterios de correcci´n
o
Realizar la sustituci´n: 2 puntos
o
utilizar fracciones parciales: 2 puntos
Calcular las integrales y sustituir: 2 puntos−

du
.
u−2

√
27 3
2. Un fabricante estima que el ingreso marginal correspondiente es 32x − √ d´lares por
o
2x
unidad cuando el nivel de producci´n es x unidades y la utilidad marginalcorrespondiente es
o
√
18 3
d´lares por unidad. Si el costo del fabricante es de 50 d´lares cuando el nivel de
o
o
16x − √
x
producci´n es de 3 unidades, ¿cu´l es el costo del fabricantecuando el nivel de producci´n es
o
a
o
de 12 unidades?
Soluci´n
o
Si C , I y U denotan las funciones de costo, ingreso y utilidad, respectivamente, de los datos
del problema se tiene
√
27 3
,I (x) = 32x − √
2x

√
18 3
U (x) = 16x − √
x

y

C (3) = 50

Como U (x) = I (x) − C (x),
√
√
18 3
27 3
C (x) = I (x) − U (x) = 32x − √ − (16x − √ ) = 16x +
2x
x

√
93
√
2xy
C (x) =

√
√√
93
(16x + √ )dx = 8x2 + 9 3 x + K
2x

De la condici´n C (3) = 50 se obtiene K = −49 y as´
o
ı,
√
C (x) = 8x2 + 9 3x − 49
El costo del fabricante cuando el nivel deproducci´n es de 12 unidades est´ dado por:
o
a
C (12) = 1157

d´lares
o

Criterios de correcci´n
o
Interpretar los datos del problema adecuadamente: 2 puntos
Integrar correctamente paradeterminar las primitivas de C : 2 puntos
Determinar correctamente el valor de K : 1 punto
Calcular correctamente C (12): 1 punto

3. Sea f (x) = −e−x y suponga que h es una funci´n tal que
o
h(x) dx...