tareas

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´
3.4 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS
Una proporci´n es una igualdad entre dos razones, si sus medios son iguales
o
a sus extremos, y cumple propiedades de igualdad, aditividad,etc.
Definici´n 1. cuando se dice que los segmentos AB, BC y AC son semejantes
o
AB
a los segmentos A B , B C y A C damos a entender que la raz´n
= K,
o
AB
BC
AC
de igual forma para lossegmentos
=K y
= K.
BC
AC

Teorema 1. TEOREMA DE THALES:
Dadas las rectas paralelas l1 , l2 . . ., ln cortadas por dos transversales s1 y
s2 entonces los segmentos que se forman en una tranversal son proporcionales
a los segmentos que se forman en la otra transversal.
Al igual que la relaci´n de congruencia, la relaci´n de semejanza se establece
o
o
entre tri´ngulos, se denota con el simbolo∼ y se define
a

Definici´n 2. Dos tri´ngulos (ABC) y (A B C ) se dicen semejantes si los
o
a
´ngulos son congruentes y sus lados hom´logos son proporcionales, la relaci´n
a
o
o
de semejanza de tri´ngulos se denota :
a
(ABC) ∼

(A B C )

Se establece la semejanza de tri´ngulo para los siguientes casos o criterios:
a
´
´
1. CASO (AA) : ANGULO - ANGULO
Dados dos tri´ngulos (ABC)y (A B C ), se dicen semejantes si se
a
tiene la CONGRUENCIA DE LOS ANGULOS (BAC) ∼ (B A C ) y
=
(ABC) ∼ (A B C ) entonces los tri´ngulos
a
=
(ABC) ∼

(A B C )

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2. CASO (LLL) : LADO LADO LADO
Dados dos tri´ngulos
a

(ABC) y

(A B C ), se dice semejantes si todos
AB BC
AC
sus lados son PROPORCIONALES, es decir
,
y
entonces
AB BC
AC
(ABC) ∼

(A B C )

3. CASO (LAL): Dos tri´ngulos son semejantes si tienen dos lados propora
cionales y el ´ngulo comprendido entre ellos congruente.
a
es decir los

(ABC) y
AB

,

AB

(A B C ) tienen

BC
BC

y

(ABC) ∼
=

(A B C )

TAREA
Solucionar TODOS los ejercicios del texto Talleres de Geometria:
i) Seccion Cinco: Semejanza de tri´ngulos.
a
TEOREMA DE PITAGORAS
En un tri´ngulo rect´ngulo lamedida de la hipotenusa al cuadrado es igual
a
a
a la suma de los cuadrados de la medida de los catetos.
1.1. Demostraci´n
o

Si BD es la altura sobre la hipotenusa entonces se forman dos tri´ngulos cada
a
uno de los cuales es semejante al tri´ngulo rect´ngulo dado ∆ADB ∼ ∆ABC ∼
a
a
∆BDC entonces por los proporcionales de tri´ngulos semejantes.
a
AB
AC

=

AD BC
AB ; AC

=

CDCB

−→ (BC)2 = AC · CD

(AB)2 = AC · AD , sumando las igualdades
(AB)2 +(BC)2 = AC·BC+AC·CD = AC (AB)2 +(BC)2 = AC·AC = AC
(AB)2 + (BC)2 = AC

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CAPITULO 4:
CUADRILATEROS Y
POL´
IGONOS
CUADRILATEROS Y POL´
IGONOS

Definici´n 3. A partir del concepto de segmento se introduce la noci´n de l´
o
o
ınea
poligonal y de poligono.
ınea Poligonal la l´
ınea
i) Dado lossegmentos AB, BC, CD, ...KL se llama L´
que resulta al unir entre si los puntos extremos de los segmentos dados.
Una l´
ınea poligonal puede ser abierta o cerrada, es cerrada cuando los extremos coinciden, y se llama pol´
ıgono a la figura que encierra una l´
ınea poligonal, los puntos A,B,C,...D se llaman v´rtices del pol´
e
ıgono, los segmentos son los
lados del pol´
ıgono, reciben su nombrepor el n´mero de segmentos que forman
u
la l´
ınea poligonal, una l´
ınea poligonal de n-lados se llama n-agono.

Definici´n 4. Un pol´
o
ıgono ABCD...K se llama simple, si los v´rtices no coine
ciden con otros, ninguno de los v´rtices cae sobre uno de los lados del pol´
e
ıgono.

Todo pol´
ıgono simple cuyos v´rtices estan situados en un plano α, se para
e
los puntos del plano, nopertenecientes a la l´
ınea poligonal en dos regiones.
Toda l´
ınea poligonal que une AconB tiene al menos un punto com´n con el
u
pol´
ıgono. Luego existen rectas en el plano del pol´
ıgono que pasan exclusivamente
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por el exterior, y no existen rectas que pasan exclusivamente por el interior del
pol´
ıgono.
Una L´
ınea poligonal se llama Convexa cuando toda ella queda en uno...