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CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA LAS SERIES

Series de reales positivos
Criterio de d'Alembert (Criterio del cociente o Criterio de la razón): sea  una serie de términos estrictamente positivos; si,
Entonces el Criterio de D'Alembert establece que si, la serie converge.
Criterio de la raíz: si los términos  son estrictamente positivos y si existe una constante  tal que  , entonces  esconvergente.
Criterio de Raabe: sea una serie, tal que  (serie de términos positivos). Si existe el límite
, siendo 
Entonces, si  la serie es convergente y si  la serie es divergente. (Nota:el Criterio de Raabe es recomendado sólo en caso de fallar el Criterio de D'Alembert).
Criterio de la integral de Cauchy: si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo[1, ∞) tal que f(n) = an para todo n, entonces  converge si y sólo si  es finita.
Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie

Converge si y sólosi la integral
Converge.
Criterio de Cauchy: una serie a valores en un espacio vectorial normado completo es convergente si y solo si la sucesión de sumas parciales es de Cauchy:
.
Criterio decondensación de Cauchy: sea  una serie monótona de números positivos decrecientes. Entonces converge si y sólo si la serie  converge.

Criterio de Leibniz: una serie de la forma  (con) se llama seriealternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes condiciones:
a)  para n par y n impar.
b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente, es decir que: .
Si esto se cumple, laserie  es condicionalmente convergente, de lo contrario la serie diverge.
Nota: Se debe descartar primero la convergencia absoluta de  antes de aplicar este criterio, usando los criterios para seriespositivas.

CRITERIOS DE CONVERGENCIA COMPARATIVOS
Son aplicables en caso de disponer de otra serie  tal que se conozca su condición de convergencia o no-convergencia.
Criterio de comparación directa...