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GUÍA 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números Naturales y Enteros

Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a la anterior y es más completa y con mayores posibilidades para realizar diferentes operaciones. A continuación, se presentan desde el más básico al más completo:

1. Números Naturales
2. Números Enteros
3. Números Racionales e Irracionales
4.Números Reales
5. Números Complejos

En el siguiente figura, se presenta un diagrama de Venn que muestra gráficamente los conjuntos numéricos que estudiaremos y la relación existente entre estos.


R











1. NÚMEROS NATURALES.
Los números naturales son aquellos que se usan para contar y numerar. Este conjunto numéricopresenta el 1 como primer elemento, pero no tiene un último elemento.
La notación que se emplea para identificar el conjunto de números naturales es: N = {1, 2,3,..}

PROPIEDADES DE LOS NATURALES.

a. N es un conjunto discreto, porque entre dos números naturales siempre hay un número finito de números naturales.
b. Todo número natural m, tiene su sucesor m +1.
c. Tanto la suma comoel producto de números naturales es un número natural, en cambio no sucede lo mismo con la resta y la división.
d. Un número natural se puede expresar como producto de otros números naturales, que se llaman factores o divisores del primero. Ejemplo: 2x2= 4, 3x2= 6, etc.
e. Propiedad conmutativa: Si se altera el orden de los sumandos, no cambia el resultado a+b=b+a
f. Propiedad asociativa:Propiedad que establece que cuando se tres o más números, la suma siempre es la misma independiente de su agrupamiento. Ejemplo a+(b+c)=(a+b)+c
g. Elemento neutro: El cero es el elemento neutro en la suma. Ejemplo a+0=0+a=a
h. Propiedad distributiva:
i. Propiedad cerrada: Cuando se suman números naturales, el resultado siempre es un número natural.

OPERACIONES CON LOS NATURALES.
a. Suma oadición de números naturales.


- Es cerrada: La suma de números naturales da como resultado un número natural
Elemento neutro: a + 0 = a
Ejemplo 3 + 0 = 3
Conmutativa: a + b = b + a
Ejemplo 2 + 5 = 5 + 2
- Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
Ejemplo (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)


b. Resta o sustracción de números naturales


Es abierta (− 5  ): No siempre la resta entre dos númerosnaturales da como resultado un número natural.
No es Conmutativa
Ejemplo 5 − 2 ≠ 2 – 5c.



c. Multiplicación de números naturales.

- Es cerrada: a · b 

- Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)
Ejemplo (2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)
Conmutativa: a · b = b · a
Ejemplo 2 · 5 = 5 · 2
Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
Ejemplo 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
Elemento neutro es el 1: a · 1 =a
Ejemplo 3 · 1 = 3



d. División de números naturales

Es abierta: No siempre la división entre dos números naturales da como resultado un número natural.
Ejemplo 3 : 2  
Cero dividido entre cualquier número da cero.
Ejemplo 0 : 5 = 0

No es Conmutativo.
Ejemplo 6 : 2 ≠ 2 : 6
No se puede dividir por 0.

Elemento neutro es el 1
a:1= a




2. NÚMEROS ENTEROS.
El conjuntode los números enteros es una ampliación del conjunto de los números naturales. La necesidad de restar 3- 8, por ejemplo, justificó la creación de los números negativos.
Al conjunto formado por los números naturales, sus correspondientes negativos y el cero se le llama conjunto de los números enteros.







La notación que se usa para identificar al conjunto de los números enteros es:Z = {…,-4,-3, -2,-1, 0 , 1 , 2 , 3,…}

Generalmente, los números enteros se representan en una recta como la que se muestra a continuación:





PROPIEDADES DE LOS ENTEROS.

a. Z no tiene primero ni último elemento, cada número tiene un antecesor y un sucesor.
b. Z es un conjunto discreto.
c. Todo número entero m tiene su opuesto -m , tal que m + (-m) = 0 .
d. Al realizar...