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TECSUP - PFR

Matemática II

UNIDAD II

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES
Consideremos la ecuación y  f ( x) en donde f es una función. En muchas aplicaciones
la variable independiente x puedecambiar ligeramente y es necesario encontrar el
cambio correspondiente de la variable dependiente y. Un cambio en x se denota
frecuentemente por el símbolo x (que se lee “delta x”).
Por ejemplo, si xvaría de x1 a x2, entonces:

x  x 2  x1 .

El número x es el incremento de x. Nótese que x 2  x1  x , es decir, el nuevo
valor de x2 es igual al valor inicial x1 más el incremento x . Elsímbolo y se usa para
denotar el cambio en la variable dependiente y que corresponde a x .
Entonces:

y  f ( x 2 )  f ( x1 )  f ( x1  x)  f ( x1 )

En ocasiones se utiliza x pararepresentar el valor inicial de la variable dependiente. En
ese caso, para indicar un cambio (pequeño) de esta variable, se dice que x tiene un
incremento x
Ejemplo:
Sea: y  3x 2  5 . Calcular ycuando x cambia de 2 a 2,1.
Solución
Deseamos calcular y cuando x = 2 y x  0,1 .
y  f ( x  x)  f ( x)  f (2,1)  f (2)



 



 3(2,1) 2  5  3(2) 2  5  1,23

La notaciónde incremento puede usarse para definir la derivada de una función.
y
x 0 x

Así: f ' ( x )  lim

De dicha relación se advierte que si f ' ( x ) existe, entonces
O bien:

y  f ' ( x).xcuando x  0

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y
 f ' ( x ) cuando x  0 .
x

... (1)

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Ejemplo:
Sea: y  3x 2  5 . Utilizar f ' ( x).x para estimar y cuando x cambia de 2 a2,1.
Solución
Sea f ( x)  3x 2  5 , en el ejemplo anterior se vió que y  1,23
En este ejemplo, x = 2 y x  0,1 y
y  6(2)( 0,1)  1,2

Obsérvese que el valor 1,2 coincide con el valor exactohasta la primera cifra
desconocida.
DEFINICIÓN
Se llama diferencial dx de la variable independiente x a dx  x
Se llama diferencial dy de la variable dependiente y a dy  f ' ( x).x
Ejemplo:...