TAREAS

M´todos Estad´
e
ısticos III

Econ. Gonzalo Villa Cox, M. Sc.

Apuntes de Clase # 2
Fecha: III T´rmino-2012
e
Agradecimientos: El autor agradece a la Econ. Mar´ Fernanda Loor y al Sr. Freddy Garc´ Alb´n
ıa
ıa
a
por su colaboraci´n en el desarrollo de este material.
o

1.
1.1.

An´lisis de varianza
a
La distribuci´n F
o

La distribuci´n de probabilidad que se emplea en estecap´
o
ıtulo es la F , la cual debe su nombre
a Sir Ronald Fisher, uno de los pioneros de la estad´
ıstica actual. Con ella se pone a prueba si
dos muestras provienen de poblaciones que tienen varianzas iguales, y tambi´n se aplica cuando
e
se desean comparar varias medias poblaciones en forma simult´nea. La comparaci´n simult´nea de
a
o
a
varias medias poblaciones se denomina an´lisisde la varianza (ANOVA). En las dos situaciones,
a
las poblaciones deben seguir una distribuci´n normal, y los datos deben ser al menos de escala de
o
intervalos.
1.1.1.

Caracter´
ıstica de la distribuci´n F
o

1. Existe una familia de distribuciones F . Un miembro particular de la familia se determina
mediante dos par´metros: los grados de libertad en el numerador y los grados delibertad en
a
el denominador.
2. La distribuci´n F es continua. Esto significa que se supone un n´mero infinito de valores
o
u
entre cero y el infinito positivo.
3. La distribuci´n F no puede ser negativa. El valor menor que F puede tomar es 0.
o
4. Tiene sesgo positivo. La cola larga de la distribuci´n es hacia el lado derecho. Cuando el
o
n´mero de grados de libertad aumenta, tanto en elnumerador como en el denominador, la
u
distribuci´n se aproxima a ser normal.
o
5. Es asint´tica. Cuando los valores de X aumentan, la curva F se aproxima al eje X pero nunca
o
lo toca.
Sup´ngase un experimento en que se observan dos variables aleatorias independientes X y Y , cada
o
una con distribuci´n chi-cuadrada con v1 y v2 grados de libertad respectivamente. Sea F una variable
oaleatoria que es funci´n de X y Y , de manera tal que
o
F =

X/v1
Y /v2

Esto es, la variable aleatoria F es el cociente de dos variables aleatorias chi-cuadrada, cada una
dividida por sus grados de libertad. Lo anterior lleva al siguiente teorema.
Teorema 1.1.1 Sean X y Y dos variables aleatorias independientes chi-cuadrada con v1 y v2 grados
de libertad respectivamente. La variablealeatoria
F =

X/v1
Y /v2

tiene una distribuci´n F con una funci´n de densidad de probabilidad dada por
o
o

v /2 v /2
 Γ[(v1 + v2 )/2]v1 1 v2 2
f (v1 −2)/2 (v2 + v1 f )−(v1 +v2 )/2
g(f ; v1 , v2 ) =
Γ(v1 /2)Γ(v2 /2)

0
A2-1

f >0
para cualquier otro valor

La distribuci´n F se caracteriza completamente por los grados de libertad v1 y v2 . Puede demostrarse
o
que el valoresperado esta dado por
E(F ) = v2 /(v2 − 2)

v2 > 2,

y la varianza est´ dada por
a
V ar(F ) =

2
v2 (2v2 + 2v1 − 4)
v1 (v2 − 2)2 (v2 − 4)

v2 > 4

La distribuci´n F tiene asimetr´ positiva para cualesquiera valores de v1 y v2 , pero ´sta va dismio
ıa
e
nuyendo conforme v1 y v2 toman valores cada vez m´s grandes.
a
En la tabla de la distribuci´n F , se encuentran los valorescuantiles f1−α,v1 ,v2 , tales que
o
f1−α,v1 ,v2

P (F

g(f ; v1 , v2 )df = 1 − α,

f1−α,v1 ,v2 ) =

0

α

1

0

para las proporciones acumulativas selecciones 1 − α y distintas combinaciones de los grados de
libertad del numerador v1 , y del denominador v2 del cociente. Por ejemplo, si v1 = 5 y v2 = 10,
entonces:
P (F

f0.90,5,10 ) = P (F

2.52) = 0.90

P (F

f0.95,5,10 )= P (F

3.33) = 0.95

P (F

f0.99,5,10 ) = P (F

5.64) = 0.99

Existen tambi´n otras formas de construir una variable aleatoria cuya distribuci´n asint´tica se
e
o
o
comporte como una F . Sea X1 , X2 ,...,XnX una muestra aleatoria de variables aleatorias indepen2
dientes y normalmente distribuidas cada una con media µX y varianza σX y sea Y1 , Y2 ,...,YnY un
conjunto de nY...