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1.1 Definición y origen de los números complejos.
Historia de los números complejos
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda defórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fue encontrada por matemáticos italianos como Tarta glía, Cardando.
Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está endesuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wiesse en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.
Definición de número complejo
Los números complejos z se pueden definir como pares ordenadosz = (x, y)                                                                                                                                                                                   
de números reales x e y, con las operaciones de suma y producto que especificaremos más adelante. Se suelen identificar los pares (x, 0) con los números reales x.
(Dar click para agrandar las imagenes)1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.
Varias propiedades de la suma y del producto de números complejos coinciden con las de los números reales. Recogeremos aquí las más básicas y verificamos algunas de ellas.
Las leyes conmitativas
z1 + z2= z2 + z1,    z1z2 = z2z1                                                                                                                                  
y las asociativas
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3),    (z1z2)z3 = z1(z2z3)                                                                                                                    
se siguen fácilmente de las definiciones de la suma y el producto de números complejos, y del hecho de que los números reales las satisfacen. Por ejemplo, si
z1 = (x1, y1)   y  z2 = (x2, y2),
entonces
z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) + (x1, y1) = z2 + z1
La verificación de las restantes, así como de la ley distributiva
z(z1 + z2) = zz1 + zz2,                                                                                                                             
es similar.
De acuerdo con la ley conmutativa delproducto, iy = yi; luego está permitido escribir
z = x + iy   o   z = x + yi
Además, por las leyes asociativas, una suma z1 + z2 + z3 o un producto z1z2z3 están bien definidos sin paréntesis, igual que ocurría con los números reales.
La identidad aditiva 0 = (0, 0) y la idenidad multiplicativa 1 = (1, 0) de los números reales se transfieren al sistema de los números complejos. O sea,
z + 0 = z  y   z * 1 = z                                                                                                                                
para todo número complejo z. Más aún, 0 y 1 son los únicos números complejos con tales propiedades. Para establecer la unicidad de 0, supongamos que (u, v) es una identidad aditiva, y escribamos
(x, y) + (u, v) = (x, y),
donde (x, y) es cualquier númerocomplejo. Se deduce que
x + u = x   e   y + v = y;
o sea, u = 0 y v = 0. El número complejo 0 = (0, 0) es, por tanto, la única identidad aditiva.
Cada número complejo z = (x, y) tiene asociado un inverso aditivo
-z = (-x, -y)                                                                                                                                                   
que satisface la...