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Binomio de Newton
El Binomio de Newton o teorema del binomio sirve para calcular las potencias de un binomio mediante números combinatorios y nos indica que:
,
donde el coeficientebinomial es definido así : .
Ejemplos:
* por n = 2 :
* por n = 3 :
Demostración
Razonamiento combinatorio
Teniendo en cuenta que en la expresión a = (x + y)n . a se puedeescribir como el producto de n binomios, , donde cada sy = x + y . El desarrollo de a es la suma de todos los productos formados cogiendo un término – ya sea x o y – de cada sy . Por ejemplo, eltérmino xn en el desarrollo de a se obtiene seleccionando x en cada sy .
El coeficiente que multiplica cada término del desarrollo de a queda determinado por la cantidad de formasdiferentes que hay para elegir termas sy tales que su producto es de la misma forma que el término (excluyendo el coeficiente). En el caso de t = xn − 1y. te ' se puede formar a a en base de cogery de uno de los sy y x de todo el resto. Hay ' formes de seleccionar un sy para obtener la y; por lo tanto te ' se obtiene de ' formes diferentes en el desarrollo de a, por lo tanto sucoeficiente es '. En general, por t = xn − kyk, hay

Formas diferentes de seleccionar los sy para obtener los ys (dones k ys se seleccionan a partir de ' sy), y por lo tanto este tiene que serel coeficiente por te '.
Demostración algebraica
Otra forma de demostrar el teorema binomial es por inducción. Cuánto ' = 0, se tiene

Por hipótesis de inducción se supone que elteorema es verdad cuánto el exponente vale me '. Entonces por ' = me ' + 1

Aplicando la propiedad distributiva

Sacando fuera del sumatorio el término k = 0

haciendo j = k − 1Sacando fuera del sumatorio de la derecha el término k = me ' + 1

Combinando los sumatorios

Aplicando la regla de Pascal

Añadiendo dentro de los sumatorio los términos me ' + 1.