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INTRODUCCIÓN: APLICACIONES ENTRE CONJUNTOS.

Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una regla que permite asignar a cada
elemento de A, uno de B.
La aplicación f del conjunto A en el conjunto B se indica mediante f: A B o bien
A B.
→
f→
El conjunto A se llama conjunto inicial, y el B conjunto final.
Si la aplicación f asigna al elemento a∈A el elemento b∈B, diremos que bes la imagen
de a, lo que se denota por f(a) = b.
La regla ha de estar inequívocamente definida, de modo que para todos y cada uno de los
elementos de A, esté claro qué elemento de B es su imagen.
Clasificación de las aplicaciones:
• Se dice que una aplicación es inyectiva si no hay dos elementos que tengan imágenes
iguales. Una aplicación inyectiva “crea una copia” de A dentro de B.• Se dice que una aplicación es suprayectiva (o sobreyectiva) si todos los elementos del
conjunto final B han sido utilizados.
• Se dice que una aplicación es biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva. Una
aplicación biyectiva establece una “igualdad” entre los conjuntos A y B, pues a cada
elemento de A le corresponde uno de B, y a cada elemento de B, exactamente uno de A.
Si fes biyectiva existe su inversa, denotada f –1: A→B , que “deshace” lo hecho por f.

Ejemplos:
1. La aplicación del conjunto de la población española mayor de edad en el conjunto de los
números naturales, que asigna a cada ciudadano su número de DNI.
Es inyectiva, pues no hay dos personas con el mismo DNI. No es suprayectiva, pues no
todos los números se utilizan.

2. Laaplicación del conjunto de los números reales en el conjunto de los reales positivos,
que asigna a cada número su cuadrado: 2 x x
+ ℜ → ℜ
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No es inyectiva, pues hay números con el mismo cuadrado (p.ej. 2 y –2). Es suprayectiva,
pues todos los reales positivos son el cuadrado de algún número.


En este capítulo definiremos aplicaciones entre espacios vectoriales.



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NeilaCampos ÁLGEBRA LINEAL Aplicaciones Lineales APLICACIONES LINEALES. PROPIEDADES

Definición: Aplicación lineal
Dados dos espacios vectoriales V y W, y dada una aplicación f: V W, diremos que f es
lineal si conserva las combinaciones lineales, es decir: dada una combinación lineal entre
vectores de V, sus imágenes en W verifican la misma combinación:
→
si u = α v+β w (en V) entonces u’ =α v’ +β w’ (en W)
donde u’, v’, w’ son respectivamente las imágenes de u, v, w.

Esto se puede expresar también así:
(1) f(αv+β w) = α f(v) +β f(w) para v, w∈V
(“La imagen de una combinación lineal, es la combinación lineal de las imágenes”. )

También es equivalente a afirmar que se conserva la suma y el producto por escalares:
(2) (2a) f(v+ w) = f(v) + f(w) para v, w∈V
(2b)f(αv) = α f(v) para v∈V, α escalar.
Por tanto, a la hora de probar si una aplicación es lineal, podemos utilizar indistintamente (1)
o (2).

• Las aplicaciones lineales también se pueden llamar homomorfismos.
• Pueden también definirse aplicaciones en subespacios vectoriales, pues éstos
funcionan como espacios vectoriales. Por ejemplo,
S={(α, 2α) : α ∈ℜ } es un subespacio de ℜ y en élpodemos definir la aplicación lineal 2
3 S
( ,2 ) (3 ,4 ,5 )
f
α α α α α
→ ℜ
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Ejemplos.
1. Consideremos la siguiente aplicación de en y veamos si es lineal: 3 ℜ 2 ℜ
3 2
(x,y,z) (2x,z)
f ℜ → ℜ
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Vamos a comprobar que se cumple la afirmación (2) anterior.
(2a): Veamos que f(v+ w) = f(v) + f(w) para cualesquiera v, w∈ : 3 ℜ
Sean dos vectores genéricos de ℜ , v=(a,b,c), w= (a’,b’, c’), entonces 3
f(v + w) = f ( (a,b,c) + (a’, b’, c’) ) = f(a+a’, b+b’, c+c’) = ( 2(a+a’), c+c’) son iguales.
f(v) + f(w) = f(a,b,c) + f(a’,b’,c’) = (2a, c) + (2a' , c’) = ( 2a+2a’, c+c’)


Neila Campos ÁLGEBRA LINEAL Aplicaciones Lineales 2 (2b): Veamos que f(a v) = α f(v) para cualesquiera v ∈ , α escalar. 3 ℜ
Sea un vector genérico v=(a,b,c) de y un escalar α, entonces: 3 ℜ...