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TANGENTES Y NORMALES
Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un casoparticular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión.
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente,por ser rectas perpendiculares entre sí.
* Ecuación de tangentes y normales: dada una curva por su ecuación y= f(x), y las coordenadas de uno de sus puntos, P(x1 , y1), la ecuación de la tangentede la curva en p es de la forma
y- y1 =m (x - x1)
Para conocer la pendiente m basta obtener f ’ (x) y sustituir en ella las variables (x , y) por (x1 , y1). Se tiene, por tanto, para la ecuaciónde la tangente:
y - y1 =f'x(x- x1)
Y para la ecuación de la normal:
y- y1= - 1f'(x) (x- x1)
* Longitud de la subtangente y de la subnormal: la subtangente ST, es la diferencia del punto deintersección de la tangente con X’X al pie de la ordenada del punto de tangencia, y la subnormal SN es la distancia de este punto al de la intersección de la normal con el mismo eje X’X.
En eltriangulo rectángulo TSP, se tiene:
TS=SPcot⁡∝
O sea:
TS=y1f'(x)
En el triangulo rectángulo NSP se tiene, a su vez:
SN=SP tan∝
O sea:
SN= y1 ×f'(x)

* Observaciones: 1ª.- si la subtangentequeda a la derecha del punto S, por convención se considera positiva, y negativa si queda a la izquierda. Igual cosa sucede con la subnormal.
2ª.- para obtener el valor absoluto o módulo de lasubtangente y de la subnormal, tómese únicamente el módulo de la ordenada del punto de tangencia y el de la pendiente de la tangente.

* Aplicaciones: dada la elipse 5y2- 9y+ x2- x-2=0 y el punto dela curva, obténgase la ecuación de la tangente y de la normal, y la longitud de la subtangente y de la subnormal.
Derívese; se obtiene:
10yyx'- 9x'+ 2x-1=0
De donde:
yx'= - 2x+110y- 9= -5