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Páginas: 9 (2192 palabras) Publicado: 9 de febrero de 2014
INTRODUCCIÓN
La matemática a pesar de su naturaleza abstracta muestra su utilidad en distintas ramas del saber humano, es decir, que dicha ciencia resulta necesaria en la resolución de problemas de diversa índole, no sólo matemáticos. Una muestra muy claro de ello es la contribución del cálculo, tanto diferencial como integral, en situaciones económicas, administrativas, contables,empresariales, entre otras.
En ese sentido, el cálculo diferencial representado por límites y derivadas, tiene aplicaciones también dentro del campo mismo de la matemática, principalmente en la geometría. Ante ello el presente trabajo de investigación destaca diversas aplicaciones geométricas para determinar la concavidad de una curva, los puntos de inflexión, hacer gráficas, identificar asíntotas y realizaranálisis de funciones de manera general.

















4.1 APLICACIONES GEOMETRICAS DE LA DERIVADA: DETERMINACION DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES A UNA CURVA
APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LÍMITES Y DERIVADAS
1. Sentido de concavidad de una curva
Sea una función derivable en el intervalo abierto de :
• Se dice que la gráfica de esta función es cóncava hacia arriba si suderivada es una función creciente en .
• Se dice que la gráfica de esta función es cóncava hacia abajo si su derivada es una función decreciente en .
Una caracterización geométrica de la concavidad de una curva es la siguiente: una curva es cóncava hacia arriba si sus rectas tangente se encuentran siempre por debajo de la curva, y es cóncava hacia abajo si sus rectas tangentes se encuentran siemprepor encima de la curva.
Una curva cóncava hacia arriba tiene sus rectas tangentes por debajo de ella, y una curva cóncava hacia abajo tiene sus rectas tangentes por encima de ella.
 Teorema: Sea una función dos veces derivable definida en el intervalo abierto de .
a) Si para toda , entonces la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en .
b) Si para toda , entonces la gráfica de lafunción es cóncava hacia abajo en .
 Ejemplo: Determine el sentido de concavidad de la gráfica de la función .
Solución
En primer lugar, las derivadas de la función son:
Como para toda (es una suma de dos términos no negativos con un positivo) concluimos que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en todo R.
 Ejemplo: Determine el sentido de concavidad de la gráfica de la función en elintervalo .

Solución
Las derivadas de esta función son:
Como para se tiene , concluimos que la gráfica de la función es cóncava hacia abajo en .
 Criterio de la segunda derivada para determinar extremos locales de una función:
Sea una función definida en el intervalo abierto de tal que en el punto se tiene . Entonces:
a) Si la función tiene un mínimo local en .
b) Si la función tiene unmáximo local en .
 Ejemplo: Determine los extremos locales de la función usando el criterio de la segunda derivada.
Solución
La derivada de la función es la cual se anula en y (éstos son los puntos críticos). La segunda derivada de la función es:
Evaluando en los puntos críticos tenemos y entonces, por el criterio de la segunda derivada la función dada tiene un mínimo local en . En se tiene yentonces, por el criterio de la segunda derivada, la función tiene un máximo local en .
2. Puntos de inflexión
La gráfica de una función continua puede tener intervalos en los que es cóncava hacia arriba e intervalos en los que es cóncava hacia abajo. Cada uno de éstos los llamaremos intervalos de concavidad de la gráfica de la función. Según el teorema anterior (Sea una función dos vecesderivable: si es cóncava hacia arriba y si es cóncava hacia abajo) en cada uno de tales intervalos la segunda derivada de la función debe mantener signo constante.
Por lo tanto, en los puntos en donde hay un cambio de concavidad en la gráfica de la función la segunda derivada de ésta o es igual a cero o no existe. Estos puntos son análogos a los puntos críticos, en donde la función cambia su...
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