Tareas

Pendiente de la curva de demanda
Si se incluyen algunos supuestos básicos sobre las funciones de utilidad consideradas anteriormente se puede demostrar que la curva de demanda tiene pendientenegativa, o más exactamente que para cualquier bien:

Las ecuaciones anteriores se interpretan como que las cantidades demandadas de un bien deben disminuir al aumentar el precio de este,manteniéndose todo lo demás igual (es decir, manteniendo el nivel de renta y el precio del resto de bienes). Las magnitudes anteriores son precisamente los términos de la matriz jacobiana que hace de diferencial de lafunción  Es decir:

Por la regla de la cadena de funciones de varias variables y el teorema de la función implícita, la matriz jacobiana anterior puede expresarse como producto de matricesjacobianas:
(*)
En general la expresión anterior resulta muy complicada para una función de utilidad totalmente general. Para una función de utilidad separable:

La expresión (*), es más fácilmentecalculable resultado por ejemplo para el primer bien:
(**)
Si admitimos que la utilidad marginal es estrictamente decreciente:

Entonces si  es par el numerador es postivo y el denominador de (**) espostivo y el numerador negativo, si es impar el numerador es negativo y el denominador positivo, y por tanto en todos los casos bajo la condición anterior la expresión resulta ser negativa, y por tantoqueda probado en ese caso que la curva de demanda tiene pendiente negativa.
Ejemplo: Mercado de dos bienes
En esta sección se considera aplicar la teoría de los apartados anteriores a un mercado dedos bienes. En este caso la función de utilidad y la restricción presupuestaria vendrán dadas por:

La matriz jacobiana de cantidades frente a precios vendrá dada por:

Siendo  una cantidadnegativa, suponiendo que la función de utilidad es no-decreciente y convexa1 se tienen las condiciones:

Bajo esos supuestos se demuestra que la "curva" de demanda tiene pendiente negativa en todos sus...