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El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.
El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en concreto elcaso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.
Desde el puntode vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de lastangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.
La inversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral indefinida.
Índice [ocultar]
1 Diferenciación y diferenciabilidad
1.1 Noción de derivada
1.2 El cocientediferencial alternativo
1.3 Funciones de varias variables
2 Historia
3 Aplicaciones importantes del cálculo diferencial
3.1 Recta tangente a una función en un punto
3.2 Uso de las derivadas para realizar gráficos de funciones
3.3 Aproximación local de Taylor
3.4 Cálculo de puntos
3.4.1 Puntos singulares
3.4.2 Puntos críticos
4 Generalización del cálculo diferencial
5 Véase también
6Referencias
7 Enlaces externos
7.1 Videotutoriales
Diferenciación y diferenciabilidad[editar]

Una función de una variable es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una función seacontinua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto c es continua en c, pero no toda función continua en c es diferenciable en c (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).
Noción de derivada[editar]
Artículo principal: Derivada


Recta secante entre los puntos f(x+h) y f(x).
Las derivadas se definen tomando el límite de la pendientede las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.
Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendientede la recta tangente.
Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos \scriptstyle (x, f(x))\, y \scriptstyle (x+h, f(x+h))\, es
f(x+h)-f(x)\over h
Esta expresión es un cociente diferencial de Newton. La derivada de f en x es ellímite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:
f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}
Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivada de f como la función cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.
Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero, calcular la derivada...