tareas

ANALISIS NUMERICO

MÉTODO DE LA BISECCIÓN
El método de bisección sigue los siguientes pasos:

f (x) continua,

Sea

xa ,

xb

ii)

La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre

Evaluar

y

f ( xb )

Encontrar valores iniciales
opuestos, es decir,

iii)

tales que

f ( xa )

i)

tienen signos

xa y xb :

f ( xr ) . Forzosamente debemoscaer en uno de los siguientes casos:



f ( xa ) y

f ( xr ) tienen signos opuestos, y por lo
tanto la raíz se encuentra en el intervalo xa , xr  .
En este caso, tenemos que



En este caso, tenemos que

f ( xa ) y f ( xr ) tienen el mismo signo, y de aquí que

f ( xb ) tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el
intervalo xr , xb  .

f ( xr ) y

Dra. Luz Maria Zuñiga Medina

ANALISIS NUMERICO

En este caso se tiene que

f ( xr )  0 y por lo tanto ya localizamos la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

es decir,

Ejemplo 1
Aproximar la raíz de

f ( x)  e x  ln x hasta que a  1% .

Solución
Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz delocaliza en el intervalo

1,1.5 .

f (x) se

Así que este intervalo es nuestro punto de partida; sin embargo,

para poder aplicar el método de bisección debemos checar que
opuestos.

f (1) y f (1.5) tengan signos

En efecto, tenemos que

mientras que





Cabe mencionar que la función f (x) sí es contínua en el intervalo 1,1.5 . Así pues, tenemos
todos los requisitossatisfechos para poder aplicar el método de bisección. Comenzamos:
i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximación a la raíz):

Dra. Luz Maria Zuñiga Medina

ANALISIS NUMERICO
ii) Evaluamos

f (1.25)  e1.25  ln(1.25)  0.0636  0

iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos la siguiente
tabla:

Por lo tanto, vemos que la raízse encuentra en el intervalo

1.25,1.5.

En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado, puesto que
solamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimos el proceso con el nuevo intervalo

1.25,1.5.

Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):

Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya conla aproximación
actual y la aproximación previa:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.
Evaluamos

f (1.375)  e1.375  ln(1.375)  0.06561  0 , y hacemos la tabla:

Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo

1.25,1.375.

Calculamos el punto medio,

Dra. Luz Maria Zuñiga Medina

ANALISIS NUMERICO
Y calculamos el nuevo erroraproximado:

El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo.
Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:
Aprox. a la raíz
1.25
1.375
1.3125
1.28125
1.296875
1.3046875

Error aprox.
9.09%
4.76%
2.43%
1.20%
0.59%

Así, obtenemos como aproximación a
la raíz
Ejemplo 2 SOLUCIONAR:
Aproximar la raíz de f ( x)  arctan x  x  1 hasta que

a  1% .

MÉTODO DE LAREGLA FALSA
Es bueno considerar si la raíz de una ecuación está localizada más cerca de alguno de los
extremos del intervalo.
Consideremos una gráfica como ,

Dra. Luz Maria Zuñiga Medina

ANALISIS NUMERICO
Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica en el intervalo

a, b .

Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo,tomamos el punto donde
cruza al eje x esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea
central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única diferencia con el método de
bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.
Supongamos que tenemos una función
además,

f (x) que es contínua en el intervalo xa , xb  y

f...