Tareas

´ Algebra y Trigonometr´ ıa.

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V. Obeso Fern´ndez a

Resumen algebra.

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Exponentes naturales, enteros y fraccionarios. Definici´n 0.0.1. an = (a)(a)(a) . . . (a), donde a ∈ R y n ∈ N. o a es llamado base, n es el exponente y an es la potencia. En esta definici´n, n indica el n´mero de veces que aparece la base como o u factor. u Por la cerradura de la multiplicaci´n de reales, an =(a)(a)(a) . . . (a) es un n´mero o
n−veces n−veces

real. Se tienen las siguientes propiedades: Dados a, b, c ∈ R y m, n ∈ N, entonces 1. am an = am+n 2. (am )n = amn 3.  m−n  a am  1 = n 1  a  an−m
n

si si si

m>n m=n n>m

4. 5.

ab a b
n

= an b n = an bn

Tomamos ahora el caso de exponentes enteros, bas´ndonos en los exponentes a naturales. Basta definir a0 = 1 paracualquier real a = 0, (Notemos que 00 no est´ definia 1 do.) y si m ∈ Z− , am = −m , donde −m ∈ N. a Si m, n ∈ Z, a, b ∈ R y todas las operaciones est´n definidas, entonces, a 1. am an = am+n 2. (am )n = amn

2 3. 4. 5. am = am−n an
n

V. Obeso Fern´ndez a

ab a b
n

= an b n = an bn

¿Cual es la acci´n a seguir cuando hay exponentes negativos? o Si la base es una fracci´n algebraica, laacci´n es el intercambio entre el o o numerador y el denominador y el exponente se convierte en positivo. Si en una fracci´n un factor est´ en el numerador afectado por un negativo, la o a acci´n a seguir es pasarlo al denominador con exponente positivo. o Si en una fracci´n un factor est´ en el denominador afectado por un negativo, o a la acci´n a seguir es pasarlo al numerador con exponentepositivo. o a−4 b5 a3 b−6
−3

a3 b 5 a7 b 2 Dada la expresi´n 9 4 6 5 , simplificarla y expresar la respuesta con exponentes o abab positivos. a13 b5 a7 b22 Dada la expresi´n 9 4 6 5 , simplificarla y expresar la respuesta con exponentes o abab positivos. (2a3 )2 (3b2 )3 Dada la expresi´n o , simplificarla y expresar la respuesta con exponentes 16a16 b4 positivos. Si a = 2, b = −3 y c = −2, halle losvalores resultantes de cada una de las expresiones siguiente.

1. (2a3 )2 )(3a2 )3 . 2. (2a3 )2 (3b2 )3 16a16 b4

El efecto de pasar una potencia del denominador hacia el numerador o viceversa, se manifiesta en el cambio del signo del exponente, lo cual indica que una potencia del

Resumen algebra.

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denominador con exponente negativo, se escribir´, por ejemplo, en el numerador con a elexponente positivo, para mostrar la aplicaci´n de este enunciado presentamos los o ejemplos siguientes: Ejemplo 0.0.1. a3 b 5 a7 b 2 = a3 b5 a7 b2 a−9 b−4 a−6 b−5 = a3+7−9−6 b5+2−4−5 = a−5 b−2 a9 b 4 a6 b 5

EJERCICIOS 0.0.1. Efectuar las operaciones indicadas. 1. (−3)2 (23 )(−2)4 2. (3)2 (−23 ) − (2)4 3. (3)2 − [23 − 24 ] 4. [3(2 − [4 − 1]) + 2] 5. a6 b3 5a4 7b8 2 a4 9b3 4a6 2b4 5

a−6 b−5 a47b8 2 6. −49 4 −6 4 a ba b5 7. (4a2 )3 (5a2 )4 8. (−4a2 )3 (−5a2 )−3 9. (4a−2 )3 (5a−2 )−4 10. 11. (12a3 )2 (6b2 )3 144a20 b−4 (a + b)3 (2a − 3b)2 (a − b)3 (2a − b)2 (ab)3 (2a + 3b)2 (a + 2b)−3 (2a + 3b)−2

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V. Obeso Fern´ndez a

15. Si a = 3, b = −2 y c = −4, halle los valores resultantes de cada una de las expresiones siguiente.

a) (2a3 )2 (3a2 )3 . b) (3a2 )4(2a4 )2 . c) (5a−2 )2 (3a2 )−3 . d) (2a3 )2 (3b2 )3 16a16 b4 (2a4 )2 (3b5 )2 e) 169a6 b4 (a3 )2 (3b2 )3 f) 9a16 b3 (−2a3 )−2 2(3b2 )3 g) 16a−16 b4 a2 b 6 a6 b 2
−3 6 1/2

h) i)

a2 b3 a b
1 2 3 1 2 2

1

2

6

a b 2 a2 b3 2 1 2 a−4 b2 a− 3 b − 2     4 1 7 3 4 1 6 2 + − + −     j)  3 2 8   3 3 8  6 2 1 2 4 3 + + + + 3 3 4 3 3 4  −3   2 4 8 24 12 16 2 + − + −    8  k) 5 2 3   13 31 3 22 43 2 4 3  + + + + 8 3 4 3 3 4     −2 1 2 −3 5 3 6 2 + − + −  2 3  2 5 5 l)  3  2 4 3 −2 −2 4 + + + + 5 5 3 3 3 4 Definici´n 0.0.2. Sean a, b n´meros reales, n entero positivo, a no negativo si n es o u 1 n par, definimos b n = a si a = b.

Resumen algebra.

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√ 1 Notaremos a = b n como a = n b que se lee a es la ra´ n-sima de b, por lo ız tanto, a es la...