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El campo de la topología, que tuvo un gran desarrollo en el siglo XX, es en sentido técnico un tipo de geometría transformacional, en que las transformaciones que preservan las propiedades de lasfiguras son los homeomorfismos (por ejemplo, esto difiere de la geometría métrica, en que las transformaciones que no alteran las propiedades de las figuras son las isometrías). Esto ha sidofrecuentemente expreso en la forma del dicho "la topología es la geometría de la página de goma".




La geometría esférica es un ejemplo de geometría no euclidiana.
En geometría euclidiana, los axiomas ypostulados son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el quesiglos después –cuando muchos geómetras lo cuestionaron al analizarlo– originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica de Nikolái Lobachevski.

En geometría analítica,los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. f(x) puede definir cualquierfunción, llámese recta, circunferencia, plano, etc.
Axiomas, definiciones y teoremas[editar]





Un teorema descubierto y probado por Arquímedes: una esfera tiene 2/3 del volumen de sucilindro circunscrito.
La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente lossistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo. Como en todosistema formal, las definiciones, no sólo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus...