tareas

Universidad Tecnológica de El Salvador (UTEC)
Cálculos de Centros de Masa, Momentos de Inercia utilizando Integrales
Múltiples y sus Aplicaciones en el área de ingeniería.

Momento de un sistema de partículas.

En muchos problemas físicos donde los cuerpos en consideración son
pequeños en relación con sus distancias, es útil pensar que la materia de la
que está compuesta cada uno, estáreunida en un punto, aparentemente su
centro. El mejor ejemplo de lo anterior es nuestro sistema solar, con sus
planetas en orbitas elípticas contorno de la estrella. El diámetro de la Tierra es
alrededor de de 12,800 km, y la distancia aproximada al Sol es de 150, 000,000
km, es decir, este planeta se puede suponer como una pequeña partícula en el
sistema solar.

Sistema de partículas se usapara designar a un conjunto de objetos cuya
masa se considera concentrada en un punto. Suponiendo una especie de
efecto de rotación del conjunto de partículas alrededor de un eje. Para mayor
claridad se supondrá primero que todas las partículas están en un plano, y
consideraremos a dicho plano como horizontal y se le empleara como el plano
‫. ݕݔ‬
Al observar a dos niños jugando en unsubibaja , observaremos que el aparato
queda equilibrado cuando ݉ଵ ݀ଵ  ൌ  ݉ଶ ݀ଶ siendo ݉ଵ y ݉ଶ las masas de los
niños, y ݀ଵ y ݀ଶ sus concernientes distancias al punto de apoyo, el cual se
localiza entre uno y otro. Este ejemplo nos hace ver que es posible considerar
al producto ݈݉ como ³efecto del giro´ de una partícula de masa ݉ colocada a
una distancia orientada ݈desde un eje, asignando signopositivo a ݈ para
aquellas partículas situadas a un lado del punto de apoyo, y signo negativo a
las que se localizan al otro lado. Entonces la condición de equilibrio es que
݉ଵ ݈ଵ  ൅  ݉ଶ ݈ଶ  ൌ Ͳ; esto es, el efecto total de giro o momento total del sistema
cuando es igual a cero.
Definición 1:
Sea ࣪ un sistema plano de partículas con masas ݉ଵ ǡ ݉ଶ ǥ Ǥ Ǥ ݉௡ localizadas en
los puntos ܲଵ ǡܲଶ ǡ ǥ ǡ ܲ௡ ǡ respectivamente. Considerando como eje a la recta en
el plano y que ݈ଵ ǡ ݈ଶ ǡ ǥ ǡ ݈௡ las distancias, dirigidas desde

a los puntos

ܲଵ ǡ ܲଶ ǡ ǥ ǡ ܲ௡ ǡ respetivamente. Entonces el momento de este sistema de
partículas con respecto al eje se representada por ‫ ࣦܯ‬y está definido por:

Cálculos de Centros de Masa, Momentos de Inercia utilizando Integrales
Múltiples y susAplicaciones en el área de ingeniería.

1

Uni

i

nol

i

El S l

(1)

‫ࣦܯ‬

σ୬ ୩ Ž୩
୩ୀ

 Ž

or UTE

 Ž

‫ ڮ‬୬ Ž୬

Veamos ‫ܯ‬௫ ‫ܯ‬௬ , los momentos con respecto a
al eje ‫ ,ݕ‬respecti amente,
en ambos casos el sentido positi o para medir distancias dirigidas es el
abitual,
por lo tanto, los momentos positi os tienen el efecto rotacional
señalado por las flechas enla Figura .
Si cada punto ܲ௞ tiene las coordenadas ሺ

௞

‫ݕ‬௞ ሻ la ecuaci n (1) dará:

(2)

‫ࣦܯ‬

σ୬ ୩ ›୩
୩ୀ

 ›

 ›

‫ ڮ‬୬ ›୬

(3)

‫ࣦܯ‬

σ୬ ୩ š୩
୩ୀ

 š

 š

‫ ڮ‬୬ š୬

Para calcular ‫ܯ‬௫ usaremos ‫ݕ‬௞ ,
(Fig

para calcular ‫ܯ‬௬ se empleara

௞,

1)

Ej m l 1:

Para el sistema ue se indica en la figura de arriba calcular ‫ܯ‬௫ ‫ܯ‬௬ ‫ࣦܯ‬భ ‫ࣦܯ ݕ‬మ ,siendo ࣦ la recta
Sol

ʹ

ࣦ la recta ‫ݕ‬

ió . De las ecuaciones
‫ܯ‬௫

‫ܯ‬௬

l los
lti les

ʹሺെͳሻ
ʹሺͳሻ

ͳሺͳሻ

ͳሺെͳሻ

ʹ

3
Ͷሺʹሻ

Ͷሺͳሻ

͹ሺ͵ሻ

͹ሺʹሻ

െʹ

ͳ

ʹെͳ

ͺ

Ͷ

ʹͳ

ͳͶ

ʹͺ

ͳͻ

ntros
sa, omentos e Inercia tili ando Integrales
sus A licaciones en el rea de ingeniería.

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Universidad Tecnológica de El Salvador (UTEC)

Un cálculosemejante para los ejes ࣦଵ y ࣦ ଶ seria:
ࣦଵ ൌ ሺ

ࣦଶ ൌ ሺ

ሻ൅ ሺ

ሻ൅ ሺ

ሻ൅ ሺ

ሻ ൅ ሺͲሻ ൌ

ሻ ൅ ሺ Ͳሻ ൅ ሺ ሻ ൌ

͸

൅

ൌ

ൌ Ͳǡ

ǡ

Analicemos que ‫ ࣦܯ‬es negativo, porque todos los puntos están sobre el eje ࣦଵ ,
o atrás, y el efecto de rotación es negativo. ‫ ࣦܯ‬ൌ Ͳ, por lo que este sistema
está en equilibrio con respecto al eje.

Definición 2:
ത
Sea ࣪ un sistema plano de...