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Guía Matemática
POTENCIAS
tutora: Jacky Moreno

.cl

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1.

Potencias

Las matem´ticas que utilizamos hoy en d´ surgieron hace m´s de 4000 a˜os atr´s. Como bien sabemos
a
ıa
a
n
a
´stas no nacieron totalmente formadas, sino que se fueron creando gracias a los acumulativos esfuerzos
e
de muchos hombres que proced´ de diversos lugares.
ıan
Atrav´s de la historia hemos podido evidenciar como dise
tintas culturas desarrollaron sus propios m´todos para mule
tiplicar y facilitar los c´lculos matem´ticos. Por ejemplo, la
a
a
cultura maya para multiplicar dos n´meros realizaban rayas
u
horizontales de acuerdo a las cifras que ten´ el primer facıa
tor y rayas verticales de acuerdo a los valores que ten´ las ¡Mira!
ıa
cifras delsegundo factor, para luego a partir de ese esquema
sumar los puntos de intersecci´n que ten´ las esquinas para
o
ıan
obtener las cifras del resultado de la multiplicaci´n. De esta forma, contando de izquierda a derecha, el
o
resultado de la suma de la esquina superior izquierda corresponde al primer d´
ıgito, el resultado de la
esquina inferior derecha corresponde al ultimo d´
´
ıgito yla diagonal que une las otras dos esquinas corresponde a los d´
ıgitos del centro.
En la actualidad, la definici´n de multiplicaci´n se puede interpretar como la suma abreviada de un
o
o
mismo n´mero. De esta manera si tenemos 4 · 5 es equivalente a sumar 5 veces el n´mero 4, esto es,
u
u
4 + 4 + 4 + 4 + 4.
De esta misma manera como la suma reiterada de un n´mero se puede abreviar a trav´sde la mulu
e
tiplicaci´n, la multiplicaci´n sucesiva de un n´mero se puede abreviar mediante una potencia. As´ si
o
o
u
ı,
tenemos 2 · 2 · 2 · 2 · 2 es equivalente a multiplicar 5 veces el n´mero 2, esto se representa como 25 y se lee
u
“2 elevado a 5”. Cuando se trata de los exponentes 2 ´ 3 la lectura var´ As´ 52 se lee “5 al cuadrado”
o
ıa. ı,
y 53 se lee “5 al cubo”.
En general,si queremos multiplicar cualquier n´mero n veces por s´ mismo se puede representar:
u
ı

En las potencias el n´mero que se repite dentro de la multiplicaci´n se denomina base y el n´mero
u
o
u
de veces que se multiplica la base se llama exponente.

Una potencia es una expresi´n que representa a un
o
n´mero que se multiplica por s´ mismo varias veces.
u
ı

2

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Ejercicios

1

Completa la siguiente tabla de potencias al cuadrado y al cubo.
N´ mero
u
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Cuadrado
1

Cubo

27
25
343
81
1.331
169
3.375

Al trabajar con potencias de base y exponente natural, podemos notar que existen ciertas regularidades con la ultima cifra del resultado de estas potencias.
´
Analicemos el caso de laspotencias con base 3:
31 = 3
32 = 9
33 = 27
34 = 81
35 = 243
36 = 729
37 = 2.187
38 = 6.561
39 = 19.683
Al observar la ultima cifra del desarrollo de cada potencia vamos notando como se repiten los n´meros
´
u
3, 9, 7 y 1. Este ciclo se reitera de forma indefinida dentro del desarrollo de las potencias de base 3 y, en
general, de cualquier potencia que tenga como base un n´mero naturalterminado en 3, como por ejemplo
u
13, 23, 33, 43, etc.

3

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Analicemos el caso de las potencias con base 4:
41 = 4
42 = 16
43 = 64
44 = 256
45 = 1.024
46 = 4.096
En este caso al observar la ultima cifra del desarrollo de cada potencia vamos notando como se repiten
´
los n´meros 4 y 6. Este ciclo se reitera de forma indefinida dentro del desarrollo de las potenciasde base
u
4 y, en general, de cualquier potencia que tenga como base un n´mero natural terminado en 4, como por
u
ejemplo 14, 24, 34, 44, etc.
Analicemos el caso de las potencias con base 5:
51 = 5
52 = 25
53 = 125
54 = 625
55 = 3.125
En este caso al observar la ultima cifra del desarrollo de cada potencia vamos notando como todas
´
terminan en la cifra 5 que corresponde a la base de...