Tareas

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Elipse

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS ELIPSE
DEFINICIÓN DE ELIPSE
Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos es:

P del plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos en el plano es constante. Los puntos fijos F1 y F2 se llaman focos. Gráficamente esto

y
B1 d1 V2 F2 F1 P

d2 V1x

B2 d1+d2= constante

Con relación a la figura, el segmento de recta

V2V1 que pasa por los focos es el eje mayor. La mediatriz

B2 B1 del eje mayor es el eje menor. Cada extremo del eje mayor V1 y V2 se llama vértice. El punto
medio del segmento F2 F1 se llama centro de la elipse. La distancia del centro a cada vértice se llama semieje mayor y la distancia del centro a cada extremodel eje menor se conoce como semieje menor. Para dibujar una elipse lo que se necesita es una cuerda, dos alfileres y un lápiz. Se colocan los dos alfileres en una hoja de papel (éstos son los focos de la elipse). Se toma un pedazo de cuerda mayor que la distancia entre los dos alfileres (ésta representa la constante de la definición) y se sujetan sus extremos a cada alfiler. Finalmente, se ponela punta del lápiz bajo la cuerda y se mueve hacia un mismo lado. La figura resultante es (por definición) una elipse. Se obtienen diferentes formas de elipses según la ubicación de los alfileres y la longitud de la cuerda que los une.

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Elipse

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE HORIZONTAL CON CENTROEN EL ORIGEN
A partir de la definición de la elipse y de la expresión para calcular la distancia entre dos puntos, se puede deducir la ecuación de una elipse en un sistema de coordenadas rectangulares. Si los vértices se ubican en las coordenadas siguiente forma:

F2 (− c ,0) , el eje mayor de la elipse es coincidente al eje x , y si su centro se ubica en el origen, tiene la

V1 (a ,0)

yV2 (− a ,0) ,

los focos están en

F1 (c ,0)

y

y
(0,b) P(x,y)

d1 V2 (-a,0) F2(-c,0) C

d2 V1(a,0) F 1(c,0)

x

(0,-b)

Si el punto

P está en cualquiera de los vértices, la suma de distancias d1 + d 2 da como resultado a − c + a + c , por lo que la suma constante se establece en 2a , a > 0 .

El punto P x , y pertenecerá a la elipse si y sólo si: por lo tanto:

(

)d1 + d 2 = 2 a ,

( x − ( −c )) 2 + ( y − 0) 2 + ( x − c) 2 + ( y − 0) 2 = 2a
que equivale a:

( x + c) 2 + y 2 = 2a − ( x − c) 2 + y 2
elevando ambos miembros al cuadrado:

 ( x + c ) 2 + y 2  =  2a − ( x − c ) 2 + y 2         
desarrollando:

2

2

(x + c)2 + y 2 = 4a 2 − 4a (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2
2

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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

x 2 + 2 xc + c 2 + y 2 = 4a 2 − 4a
eliminando términos iguales:

(x − c )2 + y 2 + x 2 − 2 xc + c 2 + y 2
− 2 xc

2 xc = 4a 2 − 4a
que equivale a:

(x − c )2 + y 2

= 4a 2 − 4 xc dividiendo todo por 4 : 4a a
a  

(x − c )2 + y 2

(x − c )2 + y 2

= a 2 − xc
2

elevando nuevamente al cuadrado ambos miembros:

(x − c )2 + y2  

a 2 (x − c )2 + y 2 = a 2 − xc

a 2 x 2 − 2 xc + c 2 + y 2 = a 2 − xc
reduciendo términos semejantes:

(

(



= a 2 − xc

(

)

2

) (

) (

)

2

)

2

a 2 x 2 − 2a 2 xc + a 2c 2 + a 2 y 2 = a 4 − 2a 2 xc + x 2c 2
a 2 x 2 + a 2c 2 + a 2 y 2 = a 4 + x 2c 2
acomodando convenientemente:

x 2 a 2 − x 2c 2 + a 2 y 2 = a 4 − a 2c 2
factorizando x

x2 a2− c2 + a2 y2 = a2 a2 − c2
si se denota como b
2

(

)

2

en el primer miembro y a en el segundo miembro:

(

)

2

a la expresión a − c
2

2

y se sustituye se tiene:

x b +a y =a b
2 2 2 2
2 2

2 2

dividiendo por a b toda la expresión:

x 2b 2 a 2 y 2 a 2b 2 + = a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2
finalmente queda como:

x2 y2 + =1 a2 b2
ecuación conocida como ecuación...