Tareas

PROBLEMAS

DE

DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
1. Ecuación básica de la dinámica en referencias inerciales y no inerciales Leyes de conservación del impulso, del momento cinético y del trabajo Fuerzas centrales

2.

3.

4. Gravitación

Prof. J.F. Martín

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1. Ecuación básica de la dinámica en referencias inerciales y no inercialesProblema 1 Dos bloques de masas m1 = 20 kg y m2 = 8 kg, están unidos mediante una cuerda homogénea inextensible que pesa 2 kg. Se aplica al conjunto una fuerza vertical hacia arriba de 560 N. Calcular: a) La aceleración del conjunto; b) Las fuerzas que actúan en los extremos de la cuerda. Solución

F1 y m1

m3

m2 O x

a) La fuerza total exterior que actúa sobre el conjunto es F = F1 + P1 + P2+ P3 = (560 – 30 x 9,8) j = 266 j y su masa es de 30 kg. De la 2ª ley de Newton F = ma se tiene que a = 8,86 j ms-2

b) En el extremo superior A y en el inferior B de la cuerda actúan fuerzas FA y FB tal que FA + FB + P3 = m3 a La fuerza FB es la que ejerce el bloque 2 sobre la cuerda, luego la cuerda ejerce sobre el bloque una fuerza igual de sentido opuesto. Movimiento del bloque 2 –FB + P2 =m2 a Sustituyendo en la ecuación anterior queda ⇒ FB = –149,3 j N

FA = 186,6 j N

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Problema 2 En el esquema de la figura las masas de la polea y del cable son despreciables y no hay rozamiento entre el cable y la polea. Hallar la aceleración del bloque m0 y la tensión del cable que une los bloques m1 y m2. El coeficiente de rozamiento entrelos bloques y el plano inclinado es µ. m1 m2

m0

Solución

Aceleración

⇒

a=

m0 − µ ( m1 + m 2 ) g m0 + m1 + m2

Tensión

⇒

T =

( 1 + µ ) ( m1 + m 2 ) m0 g m 0 + m1 + m2

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Problema 3 Una partícula de masa m se mueve bajo la acción de una fuerza F. Determinar el vector posición r(t) si: a) F = F0 sen ω t, r (0) = 0, v (0)= 0 siendo F0 un vector constante y ω una constante > 0 b) F = – η v , r (0) = 0, v (0) = v0 siendo η una constante > 0 Solución

a) De la ecuación fundamental de la dinámica se tiene d v F0 sen ω t = dt m Integrando y teniendo en cuenta las condiciones iniciales se tiene: v (t) = F0 (1 − cos ωt ) mω

El desplazamiento elemental es d r = v (t) d t Sustituyendo e integrando se tiene: r(t) = Elmovimiento de la partícula es rectilíneo F0 m ω2 (ω t − sen ω t )

b) De la ecuación fundamental de la dinámica en forma escalar se tiene dv ηv =− dt m Integrando y pasando a la forma vectorial queda:
η m

−

t

v (t) = v 0 e

Integrando la velocidad y teniendo en cuenta las condiciones iniciales se obtiene la posición r (t) = El movimiento de la partícula es rectilíneo m v0 (1 – e η−ηt / m

)

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Problema 4 Una partícula de masa m se mueve sobre un plano bajo la acción de una fuerza de módulo constante F, cuya dirección dentro del plano gira con una velocidad angular ω constante. En el instante inicial la velocidad de la partícula es nula. Calcular v(t) y el recorrido s hasta que su velocidad es de nuevo cero.

SoluciónEl eje x del sistema de referencia se toma en la dirección de la fuerza en el instante inicial. En el instante t la dirección de la fuerza ha girado el ángulo ω t. y F

m
t=0

ωt F x

O Las componentes de la fuerza en el instante t son: F1 = F cos ω t De la ecuación fundamental de la dinámica se tiene d v1 = F cos ω t d t m d v2 = F2 = F sen ω t

F sen ω t d t m

Integrando las dosecuaciones anteriores se obtiene las componentes de velocidad v1 = F sen ω t mω v2 = F (1 – cos ω t) mω

El modulo de la velocidad es v (t) = F mω 2 (1 − senωt ) = ω t  sen   2  mω   2 F

La velocidad es nula en el instante inicial y se hace cero en el instante t = 2π/ω . El recorrido entre ambos instantes es s=

∫

t

0

v (t ) dt =

8F m ω2

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