Tareas

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PROGRAMACIÓN LINEAL

REFLEXIONA Y RESUELVE Resolución de inecuaciones lineales
■

Para representar y – x Ì 2, representa la recta y – x = 2. Después, para decidir a cuál de los dos semiplanos corresponde la inecuación, toma un punto cualquiera exterior a la recta y comprueba si sus coordenadas verifican o no la desigualdad.
y–xÌ2 1 1

■

Representa, de forma análoga, lassiguientes inecuaciones: a) x + 5y > 10 a)
x + 5y > 10 1 1

b) x + 2y Ì 16

c) 2x + y Ì 20

b)

x + 2y Ì 16 1 1

c)

2x + y Ì 20 2 2

Unidad 4. Programación lineal

1

Resolución de sistemas de inecuaciones
■

Representa el recinto formado por las siguientes condiciones: °y–xÌ2 § x + 5y Ó 10 ¢ x + 2y Ì 16 § £ 2x + y Ì 20
+ 2x

y
x+

x + 5y = 10
1 1

–

x

=
2y=

2
20

Inecuaciones en el mercado de frutas
Un comerciante acude al mercado a comprar naranjas. Dispone de 2 000 € y en su furgoneta caben 1 400 kg. En el mercado disponen de naranjas de tipo A a 1,10 € y de tipo B a 1,60 €. Él las podrá vender a 1,20 € las de tipo A y a 1,75 € las de tipo B, y se cuestiona cuántos kilogramos de cada tipo debería comprar para conseguir que los beneficiossean lo más altos posible. a) Si se gasta todo el dinero en naranjas de tipo B, ¿cuántos kilos le caben aún en su furgoneta? b) Si llena la furgoneta con naranjas de tipo A, ¿cuánto dinero le sobra? ¿Cuál será el beneficio? c) ¿Cuál será el beneficio si compra 400 kg de naranjas de tipo A y 300 kg de tipo B? a) Puede comprar 2 000 : 1,60 = 1 250 kg de naranjas de tipo B. En la furgoneta le cabenaún 1 400 – 1 250 = 150 kg. b) Se gasta 1 400 · 1,10 = 1 540 €. Le sobran 2 000 – 1 540 = 460 €. Beneficio = 1 400 · (1,20 – 1,10) = 140 € c) Beneficio = 400 · (1,20 – 1,10) + 300 · (1,75 – 1,60) = 85 €
Unidad 4. Programación lineal

y=

16

2

UNIDAD

4

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1. Representa la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones: x Ó 0, y Ó 3, x + y Ì 10, 2y Ó 3x Averigua enqué puntos se hace máxima y mínima la función F (x, y) = 4x + 3y. Representamos las rectas y vemos en qué puntos se cortan: x=0 ° A(0, 3) y=3¢ £ x + y = 10 ° ¢ C(4, 6) 2y = 3x £
y=3 D 1 10

+

10

2y

y

=

=3

B

x

° x=0 B(0, 10) x + y = 10 ¢ £ 2y = 3x ° ¢ D(2, 3) y=3 £ F (B) = F (0, 10) = 30 F (D) = F (2, 3) = 17

C A 1 4x + 3y = 0

x

F (A) = F (0, 3) = 9 F (C ) = F(4, 6) = 34

F (x, y) = 4x + 3y se hace mínima en A(0, 3) y máxima en C(4, 6).

2. Representa el recinto definido por estas inecuaciones: x Ó 0, y Ó 0, x Ì 10, x Ì y, y – 2x Ì 6, 3x + 4y Ó 35 ¿En qué punto la función F (x, y) = 10x + 15y alcanza el valor máximo? Representamos las rectas y vemos en qué puntos se cortan:
D

° y – 2x = 6 A(1, 8) 3x + 4y = 35 ¢ £ 3x + 4y = 35 ° ¢ B(5, 5) x=y £x=y ° C(10, 10) x = 10 ¢ £ ° x = 10 D(10, 26) y – 2x = 6 ¢ £
A C
=6

y–

x = 10

2x

F (A) = F (1, 8) = 130
= y

F (B) = F (5, 5) = 125 F (D) = F (10, 26) = 490

F (C ) = F (10, 10) = 250

B

x

3x
1 1

+

4y

=

Representamos después la dirección de las rectas que son de la forma 10x + 15y = K.
35

10x + 15y = 0

F (x, y) = 10x + 15y alcanza el valor máximo en elpunto D(10, 26).

Unidad 4. Programación lineal

3

3. En una confitería se elaboran tartas de NATA y de MANZANA. Cada tarta de nata requiere medio kilo de azúcar y 8 huevos; y una de manzana, 1 kg de azúcar y 6 huevos. En la despensa quedan 10 kg de azúcar y 120 huevos. ¿Cuántas tartas de cada tipo se deben hacer si pretendemos que los ingresos por su venta sean máximos? Considera estoscasos: a) Sus precios son: nata, 12 €; manzana, 15 €. b) Sus precios son: nata, 16 €; manzana, 12 €. c) Sus precios son: nata, 15 €; manzana, 10 €.
CANTIDAD

(kg)

HUEVOS

AZÚCAR

Anotamos los datos en una tabla:

NATA MANZANA

x y

8x 6y

(1/2)x 1y

Restricciones del problema: °xÓ0 §yÓ0 ¢ 8x + 6y Ì 120 § £ (1/2)x + y Ì 10 Dibujamos las rectas y hallamos los puntos de...