Tareas

Álgebra de Vectores y Matrices

1 de 4

PRODUCTO ESCALAR
Es un tipo de multiplicación de vectores en los espacios bi y tridimensionales. El
producto escalar de dos vectores es un número real ya veces es llamado
“producto punto” o “producto interior”.
Definición: si A y B son dos vectores en los espacios bi y tridimensionales y θ es el
ángulo entre A y B, entonces el producto escalar A .B se define por:

A ⋅ B = A B cosθ
Además, si A = (a1, a2, a3) y B = (b1, b2, b3) entonces:

A ⋅ B = a1b1 + a 2 b2 + a3b3
Ejemplo-1: si A = (2, -1, 1) y B = (1, 1, 2) hallar A . B y el ángulo θentre A y B.

A ⋅ B = (2)(1) + (−1)(1) + (1)( 2) = 3
A = 4 +1+1 = 6
cos θ =

3
1
=
66 2

B = 1+1+ 4 = 6
⇒ θ = 60°

Ejemplo-2: demuestre que los vectores M = 3i – 4j y N = 4i + 3j sonortogonales.

M ⋅ N = ((3)( 4) + (−4)(3) = 0
M = 9 + 16 = 5
cos θ =

N = 16 + 9 = 5

0
= 0 ⇒ θ = 90°
(5)(5)

Teoremas:
a.) Vectores paralelos: dos vectores A y B diferentes de cero sonparalelos si el
ángulo entre ellos es cero o π. Adviértase que los vectores paralelos
pueden tener direcciones iguales u opuestas.
b.) Vectores ortogonales: a los vectores A y B diferentes de cero seles llama
ortogonales (o perpendiculares) si el ángulo entre ellos es π/2 (90°),
además, para ellos se cumple que A . B = 0.
c.) Si A, B , C son vectores cualesquiera entonces:
A.B=B.A
(leyconmutativa)
(ley distributiva)
A . (B + C) = A . B + A . C
d.) Si A y B son vectores cualesquiera y c es cualquier escalar entonces:
c (A . B) = (cA) . B
0.A=0
||
A . A = | A| 2
Prof. IsmaelSánchez

Álgebra de Vectores y Matrices

2 de 4

APLICACIONES: el producto escalar es útil en problemas en los que se tiene interés
por la suma de vectores perpendiculares. Si A y B son vectoresdiferentes de
cero, entonces, siempre es posible describir A como: A = w1 + w2 donde w1 es un
múltiplo escalar de B y w2 es perpendicular a B. El vector w1 recibe el nombre de
proyección ortogonal...