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SECCIONES CÓNICAS
SECCIÓN CÓNICA
Se definió en unidades anteriores como la intersección de un cono con las diferentes posiciones de un plano, o como sitios geométricos de puntos que cumplen propiedades geométricas específicas. 
Los elementos básicos de las secciones cónicas se pueden resumir en los siguientes:
[pic]Foco:
Siempre es un punto fijo de la cónica, del cual se desprenden variaslíneas importantes que en el desarrollo de la unidad se irán estudiando.
[pic]Directriz:
Es una recta fija dentro de la cónica, que desarrollando diferentesrelaciones entre las distancias que genera esta recta, da origen a una sección cónica determinada.
[pic]
LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia se define como lugar geométrico o conjunto de puntos que gozan de las mismas propiedades; y que parael caso, se trata, de todos los puntos que equidistan de un punto llamado centro y que puede coincidir con el punto (0, 0) de un plano de ejes coordenados. La distancia a la cual se hace referencia se llama radio de la circunferencia. 
Consideremos la siguiente circunferencia con centro en el punto (0,0) y radio r, con la particularidad de que el radio debe ser mayor que cero (r > 0).
 
[pic][pic]Ecuación general de la circunferencia
Al desarrollar la ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia se tiene:
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[pic]
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Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos
A (-1, 1),
B (3, 5)
C (5, -3).
La ecuación de la circunferencia que se busca es de la forma general:
[pic]
Donde se deben encontrar las constantesD, E y F: como los tres puntos pertenecen a lacircunferencia, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación que estamos buscando,como hemos dicho es de forma general. De acuerdo con lo anterior se pueden plantear tres ecuaciones que corresponden a cada uno de los puntos dados.
Para el punto (-1, 1) Se tiene la ecuación: 1 + 1 - D + E + F = 0
Para el punto (3, 5) 9 + 25 + 3D + 5E + F = 0
Para elpunto (5, -3) 25 + 9 + 5D - 3E + F = 0
Resolviendo términos semejantes en cada una de las ecuaciones:
D - E - F = 2
3D + 5E + F = - 34
5D - 3E + F = - 34
Resolvamos este sistema de ecuaciones con tres incógnitas por medio de alguno de losmétodos vistos en cursos anteriores para hallar los valores de las incógnitas:
 
[pic]
Para hallar el centro y el radio de la circunferencia bastareemplazar los valores encontrados en las fórmulas:
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[pic]Traslación de los ejes coordenados de la circunferencia
Para simplificar las ecuaciones mediante traslación de ejes coordenados, es preciso enunciar el siguiente teorema: si se trasladan los ejes de coordenadas a un nuevo origen
O´(h, k), y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son 
(x, y) y (x´,y´), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema inicial al nuevo sistema de coordenadas son:
x = x´+ h
y = y´+ k
 
[pic]
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Para desarrollar el ejercicio se toman las ecuaciones de transformación de ejes
x = x´+ h [pic] x = x´+ 1
y = y´+ k [pic] y = y´+ 2
y sus nuevos valores los reemplazamos en la ecuación original:
[pic]
LA PARÁBOLA
Una parábola es el lugargeométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal forma que su distancia a una recta fija situada en un plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.
[pic]Puntos y líneas principales de la parábola
El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola.
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Designando por F y r el foco y la directriz de la parábola,respectivamente. La recta que pasa por F y coincide con el eje de coordenadas x, y es perpendicular a r, se llama eje de la parábola.
Sea A el punto de intersección del eje y la directriz. El punto V, punto medio del segmento AF y que está sobre la parábola se llama vértice.
El segmento de recta BB´ que une dos puntos cualesquiera de la parábola recibe el nombre de cuerda, y en particular una cuerda...