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INGENIERIA EN GESTION EMPRESARIAL

2° ‘A’

APLICACIONES DE LA DERIVADA
5.1 A 5.3
ANDREA IXTA DE LA TORRE

ING. FRANCISCO JAVIER ADAME TISCAREÑO

13 DE FEBRERO DE 2013

Unidad V
Aplicaciones de la derivada
5.1.- Recta de la tangente y recta normal o una curva en un punto, curvas ortogonales.
Recta tangente: a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y queen dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión.

Recta normal: La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a)





Una recta tangente a una curva en un punto, es unarecta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión.
Sea una curva, y un punto regular de esta, es decir un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a en es la recta quepasa por y que tiene la misma dirección que alrededor de.
La tangente es la posición límite de la recta secante ( ) (el segmento se llama cuerda de la curva), cuando es un punto de que se aproxima indefinidamente al punto (se desplaza sucesivamente por
Si representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta tendrá como coeficiente director (o pendiente):
Rectanormal a una curva en un punto:
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.
La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

5.2.- TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LOGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL.Teorema de Rolle: si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.

Teorema del valor medio del cálculo diferencial: teorema de los incrementos finitos', teorema de Bonnet-LaGrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo (ver también el teoremafundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.
En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entoncesexiste al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

Este teorema lo formuló LaGrange.
El teorema del valor medio de LaGrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervaloabierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo --en otras palabras, f ( a ) = f ( b )-- entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f '( c)=0.

Forma integral del Teorema del valor medio
Para una función continua  en el cerrado, existe un valor  en dicho intervalo, tal que

5.3.- FUNCION...